第08节 不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式（解析版）

第8节不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式基础知识要夯实1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；ab，c0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－2ba没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}|2bxxaRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若ab0，m0，则bbmaam；bbmaam(b－m0).(2)若ab0，且ab⇔11ab.2.对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记a＝0时的情形.3.当Δ0时，不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.4.基本不等式：ab≤2ab(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中2ab称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.5.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤22ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.6.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是24s(简记：和定积最大).[微点提醒]1.baab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤22ab≤222ab.3.2221122abababab(a0，b0).典型例题剖析考点一不等式的性质角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)(一题多解)若11ab＜0，给出下列不等式：①11abab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】(1)A(2)C【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝212a＋340，∴ba，∴c≥ba.(2)法一因为11ab＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.法二由11ab＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1ab＜0，1ab＞0.故有11abab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又11ab＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.【答案】[5，10]【解析】法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由(1),(1)fabfab得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2affbff∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由1224abab确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(－2)＝4a－2b过点A3122，时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.规律方法1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2022·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2022·天一测试)已知实数a∈(1，3)，b∈11,84，则ab的取值范围是________.【答案】(1)A(2)(4，24)【解析】(1)a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若ba0，则a|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件.(2)依题意可得41b8，又1a3，所以4ab24.考点二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax2－bx－10的解集是{x|－12x－13}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【答案】(1)(－3，0)∪(3，＋∞)(2){x|x≥3或x≤2}【解析】(1)设x0，则－x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x).又f(0)＝0.于是不等式f(x)x等价于202xxxx或202xxxx解得x3或－3x0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以11=,23111=23baa解得56,ba故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为2xa(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为2xa(x＋1)≤0.当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2a0时，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为2|1xxxa或；当－2＜a＜0时，不等式的解集为2|1xxa；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为2|1xxa.规律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】(2022·清远一模)关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】关于x的不等式ax－b0即axb的解集是(1，＋∞)，∴a＝b0，∴不等式(ax＋b)(x－3)0可化为(x＋1)(x－3)0，解得－1x3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R上恒成立【例3－1】(2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]【答案】D【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－40恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有220,[2(2)]42(2)(4)0,aaa解得－2a2.综上，实数a的取值范围是(－2，2].角度2在给定区间上恒成立【例3－2】(一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.【答案】6|007mmm或【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则m212x＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.令g(x)＝m212x＋34m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是6|007mmm或.角度3给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【答案】C【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组22560,320,xxxx得x＜1或x＞3.规律方法1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】(2022·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是()A.[