第17节 等比数列及前n项和（解析版）

第17节等比数列及前n项和基础知识要夯实1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1na，{2na}，{an·bn}，nnab仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，Sn＝111(1)(1)(1)11nnnaqaaqaqqqq6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.难点正本疑点清源1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．典型例题剖析考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18【答案】C【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝24a，又a3a5＝4(a4－1)，所以24a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.2．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，由21317,(1)=211aqaqq得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝71(12)12a＝381，解得a1＝3.4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________.【答案】2n－1【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵13245254aaaa∴2113115,25,4aaqaqaq由①除以②可得231qqq＝2，解得q＝12，代入①得a1＝2，∴an＝2×12n－1＝42n，Sn＝12[1]2112n＝4112n，∴141242nnnnSa＝2n－1.【方法技巧】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝11(1)11nnaaqaqqq.考点二等比数列的判定与证明【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以1nnbb＝211111112442242222nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法定义法若1nnaa＝q(q为非零常数，n∈N*)或1nnaa＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且21na＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列【提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[过关训练]1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【答案】【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即26a＝a3·a9.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3；当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9；当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{an＋3}为等比数列：∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴133nnaa＝2，∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．考点三等比数列的性质及应用【例2】(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C.578D.558(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝18.(3)由题意，得=240=80SSSS奇偶奇偶，，解得=80=160SS奇偶，所以q＝160=80SS偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【跟踪训练】1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135B．100C．95D．80【答案】A【解析】由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为603=402，所以a7＋a8＝40×332＝135.2．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则212baa＝________.【答案】310【解析】因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以22b＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则212baa＝310.达标检测要扎实一、单选题1．已知na为等比数列，nS为其前n项和，若32342Saaa，则公比q（）．A．152B．152C．1D．2【答案】D【解析】因为32342Saaa，所以3412232aaaaaa，即41232aaaa，因为10a，所以232qqq，即2210qqq，因为210qq，所以q2.故选：D2．已知数列na的前n项和为nS，11a，23a，且11222nnnnSSSn，若72nnSan对任意*nN都成立，则实数的最小值为（）A．52B．116C．332D．1【答案】C【解析】数列na的前n项和为nS，11a，23a，且11222nnnnSSSn，所以112nnnnnSSSS，故122nnnaan，因为1212aa，所以121nnnaan，所以112nnnaa，2122nnnaa，，1212aa，则1211222nnaa，故11211222121nnnna，所以123122122222221nnnnSnnn，所以21nnnSan，因为72nnSan对任意*nN都成立，所以272nmaxn．设272nnnc，则111252792222nnnnnnnncc，当4n时，1nncc，当5n时，1nncc，因此1234567ccccccc即5332c，故的最小值为332．故选：C3．等比数列na中，12a，2q=，数列111nnnnabaa，nb的前n项和为nT，则10T的值为（）A．40944095B．20462047C．10221023D．510511【答案】B【解析】由题意得2nna，所以1121121212121nnnnnnb，所以10223101111111111120461212121212121212047T.故选：B4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分