第21节 解三角形（原卷版）

第21节解三角形基础知识要夯实重点一正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA重点二余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝b2＋c2－a22bc；(2)cosB＝c2＋a2－b22ca；(3)cosC＝a2＋b2－c22ab重点三重要结论1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．基本技能要落实考点一平面向量的概念【例1】（2021•天津）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin:sin:sin2:1:2ABC，2b．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin(2)6C的值．【解析】（1）ABC中，sin:sin:sin2:1:2ABC，::2:1:2abc，2b，222ab，22cb．（2）ABC中，由余弦定理可得2228243cos242222abcCab．（3）由（2）可得27sin1cos4CC，37sin22sincos8CCC，21cos22cos18CC，3211sin(2)sin2coscos2sin66616CCC．【例2】（2021•新高考Ⅱ）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，1ba，2ca．（Ⅰ）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】()2sin3sinICA，根据正弦定理可得23ca，1ba，2ca，4a，5b，6c，在ABC中，运用余弦定理可得2222224561cos22458abcCab，22sincos1CC，22137sin11()88CcosC，1137157sin452284ABCSabC．()IIcba，ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，222222(1)(2)cos022(1)abcaaaCabaa，2230aa，0a，03a，三角形的任意两边之和大于第三边，abc，即12aaa，即1a，13a，a为正整数，2a．【方法技巧】1.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．2．求三角形面积的方法(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．3．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【跟踪训练】1．（2021•乙卷）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b．【答案】22【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，1sin32acB2213341222acacac，又222cos2acbBac21122228bb，（负值舍）故答案为：22．2．（2021•北京）在ABC中，2coscbB，23C．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．条件①2cb；条件②ABC的周长为423；条件③ABC的面积为334．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（Ⅰ）2coscbB，由正弦定理可得sin2sincosCBB，即sinsin2CB，23C，当2CB时，3B，即CB，不符合题意，舍去，2CB，23B，即6B．（Ⅱ）选①2cb，由正弦定理可得3sin231sin2cCbB，与已知条件2cb矛盾，故ABC不存在，选②周长为423，23C，6B，6A，由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC，即2113222abcR，,,3aRbRcR，(23)423abcR，2R，即2a，2b，23c，ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，1CD，在ACD中，运用余弦定理，2222cosADACCDACCDC，即2141221()72AD，7AD，BC边上的中线的长度7．选③面积为334ABCS，6AB，ab，211333sin2224ABCSabCa，解得3a，余弦定理可得222233212cos333424ADACCDACCD，212AD．考点二判断三角形形状【例3】（2022·河北衡水中学高三模拟）在△ABC中，已知sinA＋sinCsinB＝b＋ca且还满足①a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)；②bcosA＋acosB＝csinC中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】由sinA＋sinCsinB＝b＋ca及正弦定理得a＋cb＝b＋ca，即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b.若选①△ABC为等边三角形．由a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π3.∴△ABC为等边三角形．若选②△ABC为等腰直角三角形，∵bcosA＋acosB＝b·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋c2－b22ac＝2c22c＝c＝csinC，∴sinC＝1，∴C＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形【方法技巧】1．判断三角形形状的2种常用途径2．判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【跟踪训练】1．（广东省揭阳市揭西县河婆中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题）在ABC中，若222sinsinsinABC＜，则ABC的形状是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】因为在ABC中，满足222sinsinsinABC，由正弦定理知sin,sin,sin222abcABCRRR，代入上式得222abc，又由余弦定理可得222cos02abcCab，因为C是三角形的内角，所以(,)2C，所以ABC为钝角三角形，故选A.2．（西南名校联盟“333”2021届高三5月份高考数学诊断性试题（三））在△ABC中，若满足sin2cos2BabA，则该三角形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理可得sin()sincos2sincos(2)cosBAaBBbAA，所以sincossincosAABB，所以sin2sin20AB，所以sin2sin22cos()sin()0ABABAB，所以cos()0AB或in0()sAB，因为(0,)AB，(,)AB，所以2AB或0AB，所以2C或AB，所以ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D考点三三角形的最值或范围问题【例4】(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①，②得cosA＝－12.因为0Aπ，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sin)3(B.又0Bπ3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.【方法技巧】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围【跟踪训练】1.（2021·浙江高三模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S﹐且满足2223()4Sabc．（1）求角C的大小；（2）求sinsinAB的最大值．【解析】（1）由题意可知13sin2cos24abCabC．所以tan3C．因为0C，所以3C；（2）由已知sinsinABsinsin()ACA2sinsin()3AA3131111sin(cossin)sin2cos2sin(2)22444264AAAAAA．因为270,23666AA,所以262A即3A时，sinsinAB取最大值34.所以sinsinAB的最大值是34．达标检测要扎实一、单选题1．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，603AC米，则A，B间的直线距离约为（参考数据sin370.6）（）A．60米B．120米C．150米D．300米【答案】C【解析】由题设，18037BAC，在△ABC中，sinsinACABBC，即603sin3732AB，所以90150sin37AB米.故选：C2．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且3B，3b，3a，则c（）．A．3B．23C．33D．3【答案】B【解析】在ABC中，由余弦定理得：22222cos339bacacBcc，即2360cc，解得：23c或3c（舍），23c.故选：B.3．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．19