第24节 直线、平面平行的判定与性质（原卷版）

第24节直线、平面平行的判定与性质基础知识要夯实1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b核心素养要做实考点一直线与平面平行的判定与性质【例1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【跟踪训练】1.(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.考点二面面平行的判定与性质【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【跟踪训练】1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积.达标检测要扎实一、单选题1．设a是直线，是平面，则能推出//a的条件是（）A．存在一条直线b，//ab，bB．存在一条直线b，abrr，bC．存在一个平面，a，//D．存在一个平面，a，2．如图，正方体1111ABCDABCD中，E为AB中点，F在线段1DD上.给出下列判断：①存在点F使得1AC平面1BEF；②在平面1111DCBA内总存在与平面1BEF平行的直线；③平面1BEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥1BBEF的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（）A．①②B．③④C．①③D．②④3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．35．平面∥平面，,ab，则直线a和b的位置关系（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面6．如图，在正三棱台111ABCABC中，2AB，114AB，125AA.M，N分别是1AB，1BC的中点，则（）A．直线//MN平面ABC，直线1AB与1BC垂直B．直线//MN平面ABC，直线1AB与1BC所成角的大小是π3C．直线MN与平面ABC相交，直线1AB与1BC垂直D．直线MN与平面ABC相交，直线1AB与1BC所成角的大小是π37．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是A．α内有无数条直线都与β平行B．α内的任一条直线都与β平行C．直线a，直线b，且//a，//bD．直线a，且//a8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1AD上运动，则下列命题中错误的是（）A．直线1PC和平面11AADD所成的角为定值B．点P到平面1CBD的距离为定值C．异面直线1CP和1CB所成的角为定值D．直线CD和平面1BPC平行二、多选题9．在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1AD上运动，则下列命题正确的是（）A．异面直线1CP和1CB所成的角为定值B．直线CD和平面1BPC相交C．三棱锥1DBPC的体积为定值D．直线CP和直线1AB可能相交10．如图，已知四棱锥PABCD中，PD平ABCD，90DABCBD，60ADBBDC，E为PC中点，F在CD上，30FBC，22PDAD，则下列结论正确的是（）A．//BE面PADB．PB与平面ABCD所成角为30°C．四面体DBEF的体积为33D．平面PAB平面PAD11．如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为（）.A．EPACB．EPBD∥C．EP∥面SBDD．EP面SAC12．如图，已知正方体1111ABCDABCD，则四个推断正确的是（）A．111ACADB．11ACBDC．平面11//ACB平面1ACDD．平面11ACB平面11BBDD三、填空题13．已知m，n，p是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：①//////mnmppn；②若//m，//m，则//；③m，//n，则//mn；④直线//m，直线//n，那么//mn；⑤若//m，n//，//mn，则//；⑥若//，//，则//．其中正确的说法为______（填序号）14．如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于点M，N，设BMx，给出下列四个结论：①四边形MENF一定为菱形；②若四边形MENF的面积为()Sfx，(0,1)x，则()fx有最大值；③若四棱锥AMENF的体积为()Vgx，(0.5,1)x，则()gx为单调函数；④设BC与CB交于点G，连接BD，在线段BD上取点P，在线段AD上取点Q，则GPPQ的最小值为526．其中所有正确结论的序号是________．15．已知直线m，n，平面α，β，若//，m，n，则直线m与n的关系是___________16．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中正确结论的序号是______.四、解答题17．如图所示，已知四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD为菱形.（1）证明：平面1//ABC平面11ACD；（2）在直线1CC上是否存在点P，使//BP平面11ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.18．已知空间四边形ABCD中，EFGH、、、分别是ABBCCDDA、、、、的中点，且ACBD．（1）判断四边形EFGH的形状，并加以证明；（2）求证：//BD平面EFGH．21．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，AFt，M是线段EF的中点．（1）求证：//AM平面BDE；（2）若1t，求二面角ADFB的大小；（3）若线段AC上总存在一点P，使得PFBE，求t的最大值．