第31节 抛物线（原卷版）

第31节抛物线基础知识要夯实1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.基本技能要落实考点一抛物线的定义及标准方程1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x2.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.12B.1C.32D.23.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.【方法技巧】1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点二抛物线的几何性质【例2】(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C.(1，0)D.(2，0)(2)A是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A.x＝－1B.y＝－1C.x＝－2D.y＝－2【方法技巧】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【跟踪训练】1.(2022·长春质量监测)过抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F作直线与该抛物线交于A，B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则|AF||OF|＝()A.43B.34C.4D.54考点三与抛物线有关的最值问题【例3】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.【例4】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.【例5】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2【例5】已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【例6】(2022·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________.【方法技巧】1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值.3.解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.4.解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.5.过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.6.抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【跟踪训练】1.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为()A.－14，1B.14，1C.(－2，－22)D.(－2，22)2.(2022·河南六市一模)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为()A.3B.4C.5D.6考点四直线与抛物线的综合问题【例7】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.【方法技巧】1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【跟踪训练】1.(2022·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程.达标检测要扎实一、单选题1．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，倾斜角为45的直线l过点F，若C上恰存在3个不同的点到l的距离为22，则C的准线方程为（）A．1xB．2xC．3xD．4x2．抛物线24yx的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且||2||AFBF，且AB中点到准线的距离为3，则线段AF的中点到准线的距离为（）A．1B．2C．52D．33．已知抛物线22ypx(0p)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是（）A．31B．31C．23D．23a.对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为2(0)yaxa的正负由题设来定；b.焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为2(0)xaya，这样就减少了不必要的讨论．4．已知抛物线216yx，过点(2,0)M的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若||12AF，O为坐标原点，则四边形OAFB的面积是（）A．202B．102C．52D．5225．若点A，B在抛物线220ypxp上，O是坐标原点，若等边三角形OAB的面积为43，则该抛物线的方程是（）A．2233yxB．23yxC．223yxD．233yx6．已知F是抛物线2:4Cyx的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线1l交于点M，若2PMFP，则FQFP（）A．3B．43C．34D．137．已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．98．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，抛物线C上的两点P，Q均在第一象限，且||2PQ，||3PF，||4QF，则直线PQ的斜率为（）A．1B．2C．3D．59．抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx的距离为2，则p（）A．1B．2C．22D．410．直线yxb交抛物线22xy于A、B两点，O为抛物线的顶点，OAOB，则b的值为（）A．2B．0C．1D．411．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若4PFMF，则MN（）A．32B．92C．3D．912．已知抛物线24yx，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足||||8AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A．2B．3C．4D．6二、填空题13．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，过点1,4M作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足AFAM，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为________．14．已知曲线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：22221xyab（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线Q与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．15．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．16．抛物线2yax（0a）上点1,2Mm到其准线l的距离为1，则a的值为_________．三、解答题17．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．18．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．19．已知过点(1,2)的抛物线方程为22(0)ypxp，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且||5AB.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求AB所在的直线方程.20．在直角坐标系xOy中，已知点(2,2)A，(2,2)B，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：2ADBDkk．(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线1y于点M，N，是否存在常数入，使ONOPQMSS，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．已知抛物线2:20Cypxp，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过1,0的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线4x于点E，直线BF交直线1x于点D，是否存在这样的直线l，使得//DEAF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．22．如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)ypxp的焦点，过点F的直线交抛物线于,AB两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记,AFGCQG△△的面积为12,SS.（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标.