第32节 圆锥曲线中的定点定值问题（原卷版）

第32节圆锥曲线中的定点定值问题基本技能要落实考点一直线过定点问题【例1】(2022·兰州一模)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→＝3MN→，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.【方法技巧】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】1.已知点P－1，32是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.考点二其他曲线过定点问题【例2】已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别是双曲线C2：x2m2－y2＝1的左、右焦点，且C1与C2相交于点233，33.(1)求椭圆C1的标准方程；(2)设直线l：y＝kx－13与椭圆C1交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【方法技巧】1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.2.以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】1.(2022·湖南三湘名校联考)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b≥1)的离心率为22，其上焦点到直线bx＋2ay－2＝0的距离为23.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P13，0的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.考点三长度或距离为定值【例3】(2020·北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求|PB||BQ|的值.【方法技巧】1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.2.以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】1.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.考点四斜率或其表达式为定值【例4】(2022·西安调研)已知点Q是圆M：(x＋5)2＋y2＝36上的动点，点N(5，0)，若线段QN的垂直平分线交MQ于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A是轨迹E的左顶点，过点D(－3，8)的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB，AC的斜率之和为定值.【跟踪训练】1.(2022·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.考点五几何图形面积为定值【例5】(2021·昆明诊断)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，点A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面积为32，O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2＝－19，证明：△OMN的面积是定值，并求此定值.【方法技巧】探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.【跟踪训练】1.已知点F(0，2)，过点P(0，－2)且与y轴垂直的直线为l1，l2⊥x轴，交l1于点N，直线l垂直平分FN，交l2于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x2－1＝x1＋m2(m为常数)，直线l′与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问△ABC的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC的面积；若不是定值，说明理由.达标检测要扎实1．给定椭圆C：222210xyabab，称圆心在原点O、半径是22ab的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为2,0F，其短轴的一个端点到点F的距离为3．(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且BDx轴，求ABAD的取值范围；(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点,Pst，过点P作两条直线1l，2l，使得1l，2l与椭圆C都只有一个公共点，且1l，2l分别与椭圆的“准圆”交于M，N两点．证明：直线MN过原点O．2．已知椭圆E：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率22e，P为椭圆上一动点，12PFF△面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：OMON为定值.3．已知椭圆2222:1(0)xyEabab，上顶点和右顶点分别是A、B，椭圆上有两个动点C、D，且//CDAB，如图所示，已知(0,2)A，且焦距为43．(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)若D点在第二象限，求证：直线AD与直线BC的斜率之积为定值，并求直线AD与直线BC的交点P的轨迹方程．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点11,0F，21,0F，点M满足1222MFMF．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点P为x轴上的动点，经过1F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且PAPB，证明：1ABFP为定值．5．动点,Mxy与定点3,0F的距离和M到定直线:23lx的距离之比是常数22，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设,Pmn是曲线C上的一动点，由原点O向圆222xmyn引两条切线，分别交曲线C于点,AB，若直线,OAOB的斜率均存在，并分别记为12,kk，试问22OAOB是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由..6．已知222212:(1)1,:(1)9,OxyOxyM与1O外切，与2O内切.(1)求点M的轨迹方程；(2)若,AB是点M的轨迹上的两点，O为坐标原点，直线,OAOB的斜率分别为12,kk，直线AB的斜率存在，AOB的面积为3，证明：12kk为定值.7．已知椭圆C：22221(0)xyabab的焦点是(3,0)、(3,0)，且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成的三角形面积为32.(1)求椭圆C的方程；(2)设(0,4)P，M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，证明：直线ME与y轴相交于定点.8．已知P是圆22:(1)16Axy上的动点，M是线段AP上一点，1,0B，且PMMB(1)求点M的轨迹C的方程(2)过1,0A的直线12,ll分别与轨迹C交于点,DE和点,FG，且0DEFG，若,NH分别为,DEFG的中点，求证：直线NH过定点9．已知P为曲线C上一点，M，N为圆224xy与x轴的两个交点，直线PM，PN的斜率之积为14．(1)求C的轨迹方程；(2)若一动圆的圆心Q在曲线C上运动，半径为255．过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆于E、F两点，当直线OE，OF的斜率存在时，OEOFkk是否为定值？请证明你的结论．10．已知椭圆22122:10xyCabab的左右顶点是双曲线222:14xCy的顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线距离为2155．(1)求椭圆1C的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线1C相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．