专题02 函数的概念与基本初等函数I（教师版）

专题02函数的概念与基本初等函数I1．【2022年全国甲卷】函数𝑦=(3𝑥−3−𝑥)cos𝑥在区间[−π2,π2]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令𝑓(𝑥)=(3𝑥−3−𝑥)cos𝑥,𝑥∈[−𝜋2,𝜋2]，则𝑓(−𝑥)=(3−𝑥−3𝑥)cos(−𝑥)=−(3𝑥−3−𝑥)cos𝑥=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数，排除BD；又当𝑥∈(0,𝜋2)时，3𝑥−3−𝑥0,cos𝑥0，所以𝑓(𝑥)0，排除C.故选：A.2．【2022年全国甲卷】已知9𝑚=10,𝑎=10𝑚−11,𝑏=8𝑚−9，则（）A．𝑎0𝑏B．𝑎𝑏0C．𝑏𝑎0D．𝑏0𝑎【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知𝑚=log9101，再利用基本不等式，换底公式可得𝑚lg11，log89𝑚，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由9𝑚=10可得𝑚=log910=lg10lg91，而lg9lg11(lg9+lg112)2=(lg992)21=(lg10)2，所以lg10lg9lg11lg10，即𝑚lg11，所以𝑎=10𝑚−1110lg11−11=0．又lg8lg10(lg8+lg102)2=(lg802)2(lg9)2，所以lg9lg8lg10lg9，即log89𝑚，所以𝑏=8𝑚−98log89−9=0．综上，𝑎0𝑏．故选：A.3．【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（）A．𝑦=−𝑥3+3𝑥𝑥2+1B．𝑦=𝑥3−𝑥𝑥2+1C．𝑦=2𝑥cos𝑥𝑥2+1D．𝑦=2sin𝑥𝑥2+1【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥𝑥2+1，则𝑓(1)=0，故排除B;设ℎ(𝑥)=2𝑥cos𝑥𝑥2+1，当𝑥∈(0,π2)时，0cos𝑥1，所以ℎ(𝑥)=2𝑥cos𝑥𝑥2+12𝑥𝑥2+1≤1，故排除C;设𝑔(𝑥)=2sin𝑥𝑥2+1，则𝑔(3)=2sin3100，故排除D.故选：A.4．【2022年全国乙卷】已知函数𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的定义域均为R，且𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5,𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥−4)=7．若𝑦=𝑔(𝑥)的图像关于直线𝑥=2对称，𝑔(2)=4，则∑𝑘=122𝑓(𝑘)=（）A．−21B．−22C．−23D．−24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−2)=−2，从而得到𝑓(3)+𝑓(5)+⋯+𝑓(21)=−10，𝑓(4)+𝑓(6)+⋯+𝑓(22)=−10，然后根据条件得到𝑓(2)的值，再由题意得到𝑔(3)=6从而得到𝑓(1)的值即可求解.【详解】因为𝑦=𝑔(𝑥)的图像关于直线𝑥=2对称，所以𝑔(2−𝑥)=𝑔(𝑥+2)，因为𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥−4)=7，所以𝑔(𝑥+2)−𝑓(𝑥−2)=7，即𝑔(𝑥+2)=7+𝑓(𝑥−2)，因为𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5，所以𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥+2)=5，代入得𝑓(𝑥)+[7+𝑓(𝑥−2)]=5，即𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−2)=−2，所以𝑓(3)+𝑓(5)+⋯+𝑓(21)=(−2)×5=−10，𝑓(4)+𝑓(6)+⋯+𝑓(22)=(−2)×5=−10.因为𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5，所以𝑓(0)+𝑔(2)=5，即𝑓(0)=1，所以𝑓(2)=−2−𝑓(0)=−3.因为𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥−4)=7，所以𝑔(𝑥+4)−𝑓(𝑥)=7，又因为𝑓(𝑥)+𝑔(2−𝑥)=5，联立得，𝑔(2−𝑥)+𝑔(𝑥+4)=12，所以𝑦=𝑔(𝑥)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数𝑔(𝑥)的定义域为R，所以𝑔(3)=6因为𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥+2)=5，所以𝑓(1)=5−𝑔(3)=−1.所以∑𝑘=122𝑓(𝑘)=𝑓(1)+𝑓(2)+[𝑓(3)+𝑓(5)+⋯+𝑓(21)]+[𝑓(4)+𝑓(6)+⋯+𝑓(22)]=−1−3−10−10=−24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5．【2022年新高考2卷】已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，且𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),𝑓(1)=1，则∑22𝑘=1𝑓(𝑘)=（）A．−3B．−2C．0D．1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数𝑓(𝑥)的一个周期为6，求出函数一个周期中的𝑓(1),𝑓(2),⋯,𝑓(6)的值，即可解出．【详解】因为𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)，令𝑥=1,𝑦=0可得，2𝑓(1)=𝑓(1)𝑓(0)，所以𝑓(0)=2，令𝑥=0可得，𝑓(𝑦)+𝑓(−𝑦)=2𝑓(𝑦)，即𝑓(𝑦)=𝑓(−𝑦)，所以函数𝑓(𝑥)为偶函数，令𝑦=1得，𝑓(𝑥+1)+𝑓(𝑥−1)=𝑓(𝑥)𝑓(1)=𝑓(𝑥)，即有𝑓(𝑥+2)+𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+1)，从而可知𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥−1)，𝑓(𝑥−1)=−𝑓(𝑥−4)，故𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥−4)，即𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+6)，所以函数𝑓(𝑥)的一个周期为6．因为𝑓(2)=𝑓(1)−𝑓(0)=1−2=−1，𝑓(3)=𝑓(2)−𝑓(1)=−1−1=−2，𝑓(4)=𝑓(−2)=𝑓(2)=−1，𝑓(5)=𝑓(−1)=𝑓(1)=1，𝑓(6)=𝑓(0)=2，所以一个周期内的𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(6)=0．由于22除以6余4，所以∑𝑓(𝑘)22𝑘=1=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=1−1−2−1=−3．故选：A．6．【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（）A．fxxB．23xfxC．2fxxD．3fxx【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，fxx为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，23xfx为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，2fxx在,0为减函数，不合题意，舍.对于D，3fxx为R上的增函数，符合题意，故选：D.7．【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】【分析】根据,LV关系，当4.9L时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由5lgLV，当4.9L时，lg0.1V，则10.110101110100.81.25910V.故选：C.8．【2021年甲卷文科】设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．53【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff，而21111133333ffff，故5133f.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.9．【2021年甲卷理科】设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（）A．94B．32C．74D．52【答案】D【解析】【分析】通过1fx是奇函数和2fx是偶函数条件，可以确定出函数解析式222fxx，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为1fx是奇函数，所以11fxfx①；因为2fx是偶函数，所以22fxfx②．令1x，由①得：024ffab，由②得：31ffab，因为036ff，所以462ababa，令0x，由①得：11102fffb，所以222fxx．思路一：从定义入手．9551222222ffff1335112222ffff511322=2222ffff所以935222ff．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期4T．所以91352222fff．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．10．【2021年乙卷文科】设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A．11fxB．11fxC．11fxD．11fx【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．【2021年乙卷理科】设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A．abcB．bcaC．bacD．cab【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数2ln1141fxxx,ln12141gxxx，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】2222ln1.01ln1.01ln10.01ln120.010.01ln1.02ab,所以ba;下面比较c与,ab的大小关系.记2ln1141fxxx,则00f,214122114114xxfxxxxx，由于2214122xxxxxx所以当0x2时，21410xx,即141xx,0fx,所以fx在0,2上单调递增，所以0.0100ff,即2ln1.011.041,即ac;令ln