专题07 平面解析几何（选填题）（教师版）

专题07平面解析几何（选填题）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→=−1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦216=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=1【答案】B【解析】【分析】根据离心率及𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，解得关于𝑎2,𝑏2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=13，解得𝑏2𝑎2=89，𝑏2=89𝑎2，𝐴1,𝐴2分别为C的左右顶点，则𝐴1(−𝑎,0),𝐴2(𝑎,0)，B为上顶点，所以𝐵(0,𝑏).所以𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑎,−𝑏),𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑎,−𝑏)，因为𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1所以−𝑎2+𝑏2=−1，将𝑏2=89𝑎2代入，解得𝑎2=9,𝑏2=8，故椭圆的方程为𝑥29+𝑦28=1.故选：B.2．【2022年全国甲卷】椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．√32B．√22C．12D．13【答案】A【解析】【分析】设𝑃(𝑥1,𝑦1)，则𝑄(−𝑥1,𝑦1)，根据斜率公式结合题意可得𝑦12−𝑥12+𝑎2=14，再根据𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，将𝑦1用𝑥1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：𝐴(−𝑎,0)，设𝑃(𝑥1,𝑦1)，则𝑄(−𝑥1,𝑦1)，则𝑘𝐴𝑃=𝑦1𝑥1+𝑎,𝑘𝐴𝑄=𝑦1−𝑥1+𝑎，故𝑘𝐴𝑃⋅𝑘𝐴𝑄=𝑦1𝑥1+𝑎⋅𝑦1−𝑥1+𝑎=𝑦12−𝑥12+𝑎2=14，又𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1，则𝑦12=𝑏2(𝑎2−𝑥12)𝑎2，所以𝑏2(𝑎2−𝑥12)𝑎2−𝑥12+𝑎2=14，即𝑏2𝑎2=14，所以椭圆𝐶的离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=√32.故选：A.3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，点A在C上，点𝐵(3,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|，则|𝐴𝐵|=（）A．2B．2√2C．3D．3√2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点𝐴的横坐标，进而求得点𝐴坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，𝐹(1,0)，则|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|=2，即点𝐴到准线𝑥=−1的距离为2，所以点𝐴的横坐标为−1+2=1，不妨设点𝐴在𝑥轴上方，代入得，𝐴(1,2)，所以|𝐴𝐵|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2.故选：B4．【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为𝐹1,𝐹2，以C的实轴为直径的圆记为D，过𝐹1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠𝐹1𝑁𝐹2=35，则C的离心率为（）A．√52B．32C．√132D．√172【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在𝑥轴，设过𝐹1作圆𝐷的切线切点为𝐺，可判断𝑁在双曲线的右支，设∠𝐹1𝑁𝐹2=𝛼，∠𝐹2𝐹1𝑁=𝛽，即可求出sin𝛼，sin𝛽，cos𝛽，在△𝐹2𝐹1𝑁中由sin∠𝐹1𝐹2𝑁=sin(𝛼+𝛽)求出sin∠𝐹1𝐹2𝑁，再由正弦定理求出|𝑁𝐹1|，|𝑁𝐹2|，最后根据双曲线的定义得到2𝑏=3𝑎，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在𝑥轴，设过𝐹1作圆𝐷的切线切点为𝐺，所以𝑂𝐺⊥𝑁𝐹1，因为cos∠𝐹1𝑁𝐹2=350，所以𝑁在双曲线的右支，所以|𝑂𝐺|=𝑎，|𝑂𝐹1|=𝑐，|𝐺𝐹1|=𝑏，设∠𝐹1𝑁𝐹2=𝛼，∠𝐹2𝐹1𝑁=𝛽，由cos∠𝐹1𝑁𝐹2=35，即cos𝛼=35，则sin𝛼=45，sin𝛽=𝑎𝑐，cos𝛽=𝑏𝑐，在△𝐹2𝐹1𝑁中，sin∠𝐹1𝐹2𝑁=sin(𝜋−𝛼−𝛽)=sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽=45×𝑏𝑐+35×𝑎𝑐=3𝑎+4𝑏5𝑐，由正弦定理得2𝑐sin𝛼=|𝑁𝐹2|sin𝛽=|𝑁𝐹1|sin∠𝐹1𝐹2𝑁=5𝑐2，所以|𝑁𝐹1|=5𝑐2sin∠𝐹1𝐹2𝑁=5𝑐2×3𝑎+4𝑏5𝑐=3𝑎+4𝑏2，|𝑁𝐹2|=5𝑐2sin𝛽=5𝑐2×𝑎𝑐=5𝑎2又|𝑁𝐹1|−|𝑁𝐹2|=3𝑎+4𝑏2−5𝑎2=4𝑏−2𝑎2=2𝑎，所以2𝑏=3𝑎，即𝑏𝑎=32，所以双曲线的离心率𝑒=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=√132故选：C5．【2021年甲卷文科】点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy，即340xy，结合对称性，不妨考虑点3,0到直线340xy的距离：9095916d.故选：A.6．【2021年乙卷文科】设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A．52B．6C．5D．2【答案】A【解析】【分析】设点00,Pxy，由依题意可知，0,1B，220015xy，再根据两点间的距离公式得到2PB，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点00,Pxy，因为0,1B，220015xy，所以222222200000001251511426444PBxyyyyyy，而011y，所以当014y时，PB的最大值为52．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．7．【2021年乙卷理科】设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【解析】【分析】设00,Pxy，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．8．【2021年新高考1卷】已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．【点睛】9．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx的距离为2，则p（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy的距离：012211pd，解得：2p(6p舍去).故选：B.10．【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||122ApAFx，即1292p，解得6p=.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.11．【2020年新课标1卷理科】已知⊙M：222220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP，根据44PAMPMABSPA可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP，所以14442PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小．∴1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy．所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210xyy，两圆的方程相减可得：210xy，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．12．【2020年新课标1卷文科】已知圆2260xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP根据弦长公式得最小值为229||2982CP.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.13．【2020年新课标1卷文科】设12,FF是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为（）A．72B．3C．52D．2【答案】B【解析】【分析】由12FFP是以P为