专题14 不等式（教师版）

专题14不等式1．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{𝑥+𝑦⩾2,𝑥+2𝑦⩽4,𝑦⩾0,则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数𝑧=2𝑥−𝑦为𝑦=2𝑥−𝑧，上下平移直线𝑦=2𝑥−𝑧，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以𝑧max=2×4−0=8.故选：C.2．【2021年乙卷文科】若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A．18B．10C．6D．4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3yxz，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43xyy可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz，上下平移直线3yxz，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时min3136z.故选：C.3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．222xxyD．4lnlnyxx【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，2224133yxxx，当且仅当1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线x对称D．f(x)的图象关于直线2x对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sinx可以为负，所以A错；1sin0()()sin()sinxxkkZfxxfxxQQ()fx关于原点对称；11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxxQ故B错；()fx关于直线2x对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2019年新课标2卷理科】若ab，则A．ln(a−b)0B．3a3bC．a3−b30D．│a││b│【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法，因为ab，所以0ab，当1ab时，ln()0ab，知A错，因为3xy是增函数，所以33ab，故B错；因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，知C正确；取1,2ab，满足ab，12ab，知D错．【详解】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知A错，排除A；因为9333ab，知B错，排除B；取1,2ab，满足ab，12ab，知D错，排除D，因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．6．【2022年新高考2卷】若x，y满足𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1，则（）A．𝑥+𝑦≤1B．𝑥+𝑦≥−2C．𝑥2+𝑦2≤2D．𝑥2+𝑦2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为𝑎𝑏≤(𝑎+𝑏2)2≤𝑎2+𝑏22（𝑎,𝑏∈R），由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为，(𝑥+𝑦)2−1=3𝑥𝑦≤3(𝑥+𝑦2)2，解得−2≤𝑥+𝑦≤2，当且仅当𝑥=𝑦=−1时，𝑥+𝑦=−2，当且仅当𝑥=𝑦=1时，𝑥+𝑦=2，所以A错误，B正确；由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为(𝑥2+𝑦2)−1=𝑥𝑦≤𝑥2+𝑦22，解得𝑥2+𝑦2≤2，当且仅当𝑥=𝑦=±1时取等号，所以C正确；因为𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1变形可得(𝑥−𝑦2)2+34𝑦2=1，设𝑥−𝑦2=cos𝜃,√32𝑦=sin𝜃，所以𝑥=cos𝜃+1√3sin𝜃,𝑦=2√3sin𝜃，因此𝑥2+𝑦2=cos2𝜃+53sin2𝜃+2√3sin𝜃cos𝜃=1+1√3sin2𝜃−13cos2𝜃+13=43+23sin(2𝜃−π6)∈[23,2]，所以当𝑥=√33,𝑦=−√33时满足等式，但是𝑥2+𝑦2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a0，b0，且a+b=1，则（）A．2212abB．122abC．22loglog2abD．2ab【答案】ABD【解析】【分析】根据1ab，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，222221221abaaaa21211222a，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；对于B，211aba，所以11222ab，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故C不正确；对于D，因为21212ababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.8．【2020年新课标1卷理科】若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy则z=x+7y的最大值为______________.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy即：1177yxz，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z.故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9．【2020年新课标2卷文科】若x，y满足约束条件1121,xyxyxy，，则2zxy的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12yx，在平面区域内找到一点使得直线1122yxz在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12yx，当直线经过点A时，直线1122yxz在纵轴上的截距最大，此时点A的坐标是方程组121xyxy的解，解得：23xy，因此2zxy的最大值为：2238.故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.10．【2020年新课标3卷理科】若x，y满足约束条件0,201,xyxyx，，则z=3x+2y的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32zxy，所以322xzy，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy，当322xzy经过A点时截距最大，此时z最大，由21yxx，得12xy，(1,2)A，所以max31227z.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.11．【2020年新课标3卷理科】关于函数f（x）=1sinsinxx有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66ff，所以，函数fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx，所以，函数fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sincos22cossin2fxxxxx，11sincos22cossin2fxxxxx，则22fxfx，所以，函数fx的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x时，sin0x，则1sin02sinfxxx，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．【2019年新课标2卷文科】若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy，，，则z=3x–y的最大值是___________.【答案】9.【解析】【分析】作出可行域，平移30xy找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线30xyz中的z表示纵截距的相反数，当直线3zxy过点3,0C（）时，z取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．13．【2018年新课标1卷理科】若x，y满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为_____________．【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式3122yxz，之后在图中画出直线32yx，在上下移动的过程中，结合12z的几何意义，可以发现直线3122yxz过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，