易错点08 立体几何（学生版）

易错点08立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视,//,aabb三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。2.求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。的范围是090°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点3：直线与平面所成的角1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）21coscoscos求1。2.向量方法：设n为平面的法向量，直线a与平面所成的角为，则,2,,2,2,0,,,2nananana易错点4：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量1n，平面的法向量2n3.进行向量运算求出法向量的夹角121212cos,nnnnnn；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：2121,coscos,coscosnnnn，为钝角时当二面角为锐角时1．已知,lm是两条不同的直线，是平面，且//m，则（）A．若lm，则l∥B．若l∥，则lmC．若lm，则lD．若l，则lm2．已知直三棱柱111ABCABC各棱长均相等，点D，E分别是棱11AB，1CC的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）A．15B．15C．35D．35-3．如图，正方体1111ABCDABCD中，P是1AD的中点，则下列说法正确的是（）A．直线PB与直线1AD垂直，直线PB∥平面11BDCB．直线PB与直线1DC平行，直线PB平面11ACDC．直线PB与直线AC异面，直线PB平面11ADCBD．直线PB与直线11BD相交，直线PB平面1ABC4．平行六面体1112ABCDABCD中，111,3AABAADBADABADAA，则1BD与底面ABCD所成的线面角的正弦值是（）A．33B．63C．12D．325．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β1．在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30°，则（）A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30°C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为452．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π4．如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则（）A．B．C．D．5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27一、单选题1．已知正三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π2．设m，n是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（）A．若，，则//B．若，//m，则mC．若m，//m，则D．若//mn，n，则//m3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,PABC，满足1,PAPA面ABC，ACBC，若23PABCV，则该“鞠”的体积的最小值为（）A．256πB．9C．92D．984．在三棱柱111ABCABC中，D，E分别为AB､11 BC的中点，若12AAAC，6DE，则DE与1CC所成角的余弦值为（）A．33B．64C．368D．2635．已知在菱形ABCD中，2,60ABA，把ABD△沿BD折起到'ABD位置，若二面角ABDC大小为120，则四面体ABCD的外接球体积是（）A．73B．283C．282127D．721276．如图，在直三棱柱111ABCABC中，BC面11ACCA，12CACCCB，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A．225B．53C．55D．357．四面体PABC中，45,30APBAPCBPC，则二面角APCB的平面角的余弦值为（）A．21B．34C．223D．238．如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，1ACBC，2PABA，2PB．三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（）A．24B．22C．2D．322二、多选题9．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若mn，m，//n，则B．若m，//n，则mnC．若//，m，则//mD．若//mn，//，则m与所成的角和n与所成的角相等10．在正四面体A－BCD中，3AB，点O为ACD△的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则（）A．四边形EFGH的周长为8B．四边形EFGH的面积为2C．直线AB和平面EFGH的距离为2D．直线AC与平面EFGH所成的角为4三、解答题11．如图，三棱柱111ABCABC中，点1A在平面ABC内的射影D在AC上，90ACB，112BCACCC，.(1)证明:11ACAB；(2)若12AC，求二面角1AABC－－的余弦值.12．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，12ADCDAB，平面PAD平面PAB，PAPB．(1)求证：平面PAD平面PBC；(2)若二面角PABD的余弦值为33，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．