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易错点12复数易错点1.复数的有关概念(1)定义:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数.复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部.(2)分类:满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数⇔b=0a+bi为虚数⇔b≠0a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0(3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数,复数z的共轭复数用z表示.(5)复数的模:向量OZ→=(a,b)的长度称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=a2+b2.当b=0时,|z|=a2=|a|.易错点2.复数的几何意义复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ→=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.易错点3.复数的运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即OZ→=OZ1→+OZ2→,Z1Z2→=OZ2→-OZ1→.(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.1.已知复数z的共轭复数z满足关系式i1iz,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【详解】解:因为i1iz,所以21ii1i1iiiz,所以1iz,在复平面内所对应的点为1,1,位于第一象限;故选:A2.复数|3i|1iz的共轭复数z为()A.22iB.22iC.1iD.1i【答案】D【详解】∵22|3i|312,则22(1i)1i1i(1i)(1i)z,∴1iz.故选:D.3.设复数21iz(其中i为虚数单位),则z=()A.5B.3C.5D.3【答案】A【详解】2112iiz,22||1(2)5z,故选:A4.已知aR,若211iaa是纯虚数(i是虚数单位),则a()A.-1或1B.0C.-1D.0或1【答案】C【详解】211iaa是纯虚数,210a且10a,解得1a,故选:C5.已知复数z的共轭复数为z,若1iz,则22iz()A.1iB.1iC.1iD.1i【答案】B【详解】1iz,21i21i222i2i2i2i1i1i1i1i2z,故选:B1.已知12zi,且0zazb,其中a,b为实数,则()A.1,2abB.1,2abC.1,2abD.1,2ab【答案】A【详解】12iz12i(12i)(1)(22)izazbababa由0zazb,得10220aba,即12ab故选:A2.已知,,3i(i)iababR(i为虚数单位),则()A.1,3abB.1,3abC.1,3abD.1,3ab【答案】B【详解】3i1iab,而,ab为实数,故1,3ab,故选:B.3.若复数z满足i34iz,则z()A.1B.5C.7D.25【答案】B【详解】由题意有34ii34i43iiiiz,故223|54|z.故选:B.4.设(12i)2iab,其中,ab为实数,则()A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab【答案】A【详解】因为,abÎR,2i2iaba,所以0,22aba,解得:1,1ab.故选:A.5.若13iz,则1zzz()A.13iB.13iC.13i33D.13i33【答案】C【详解】13i,(13i)(13i)134.zzz13i13i1333zzz故选:C一、单选题1.已知z为复数i(1i)z的共轭复数,则zz()A.1iB.1iC.2D.2【答案】D【详解】2ii1i,1i,2zzzz.故选:D.2.复数112i的虚部是()A.25B.15C.15D.25【答案】A【详解】22112i12i12i12i12i(12i)(12i)1(2i)555所以虚部为25故选:A3.已知i为虚数单位,则复数2i2i()A.34i55B.34i55C.34i55D.34i55【答案】B【详解】2i2i2i34i34i2i2i2i555.故选:B.4.已知(13i)2z(其中i为虚数单位),则复数z()A.13i22B.13i22C.13i22D.13i22【答案】A【详解】又条件可知213i2223i13i42213i13i13iz.故选:A5.复数1i2iiz(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【详解】因为1i12i12ii12i1iiiz,所以复数z在复平面内对应的点(1,1)位于第二象限,故选:B6.已知复数z在复平面内对应的点为11,,z是z的共轭复数,则1z()A.11i22B.11i22C.11i22D.11i22【答案】B【详解】∵复数z在复平面内对应的点为11,,∴1iz,1iz,11i1i11i1i1i222z.故选:B.7.已知izz(i为虚数单位),则复数z在复平面上对应的点一定在()A.实轴上B.虚轴上C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上【答案】D【详解】设izab,则izab,则ii(i)izzabba,即i=iabba,ba,∴i=izabaa,复数z在复平面上对应的点为,aa,一定在第二、四象限的角平分线上,故选:D8.在复平面内,复数17i14i对应的点为M,复数22i对应的点为N,则向量MN的模为()A.217B.10C.213D.26【答案】B【详解】17i17i(14i)4i14i(14i)(14i),222ii4i34i4,(4,1),(3,4)MN,22(1,3),||(1)310MNMN.故选:B二、多选题9.若复数z满足:2i86izz,则()A.z的实部为3B.z的虚部为1C.10zzD.z在复平面上对应的点位于第一象限【答案】ABD【详解】设i,zababR,因为2i86izz,所以2i86izzz,所以2222i86iabba,所以2228abb,26a,所以3a,1b,所以3iz,所以z的实部为3,虚部为1,故A,B正确;210zzz,故C不正确;z在复平面上对应的点3,1位于第一象限,故D正确.故选:ABD.10.已知复数z满足方程229240zzz,则()A.z可能为纯虚数B.该方程共有两个虚根C.z可能为13iD.该方程的各根之和为2【答案】ACD【详解】解:由229240zzz,得290z或2240zz,即29z或2(1)3z,解得3iz或13zi,即方程的根分别为13iz、23iz、313iz、413iz,所以12343i3i13i13i2zzzz故选:ACD.三、解答题11.已知12,zzC,121zz,123zz,求12zz.【详解】设复数12,zz对应的向量分别为12,OZOZ,因为12121,3zzzz,可得121,1OZOZ,且22221212121212()2223zzOZOZOZOZOZOZOZOZ,解得1221OZOZ,所以222212121212()21zzOZOZOZOZOZOZ,所以121zz.故答案为:1.12.设复数1z、2z满足12122i2i10zzzz.(1)若1z、2z满足212izz,求1z、2z;(2)若13z,则是否存在常数k,使得等式2|4i|zk恒成立?若存在,试求出k的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由212izz可得:212izz,代入已知方程得11112i2i2i2i10zzzz,即211||2i30zz,令1izab(abR、),∴222ii30abab,即222320abbai,∴2223020abba,解得01ab或03ab,∴1iz、2iz或13iz、25iz;(2)由已知得2122i12izzz,又13z,∴222i132izz,∴222222222i1|32i|2i|32i|zzzz,∴22222i2i32i2izzzz,整理得22224i4i110zzz即22224i4i110zzzz,所以22224i4i4i27zzz,故224i4i27zz,∴22|4i|27z,即24i33z,∴存在常数33k,使得等式24izk恒成立.
本文标题:易错点12 复数(解析版)
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