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易错点15概率易错点1.事件、频率和概率概念理解错误1.事件的关系定义表示法图示包含关系一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”)记作A⊆B(或B⊇A)互斥事件给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥,记作AB=∅(或A∩B=∅)若A∩B=∅,则A与B互斥对立事件给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件,记作A若A∩B=∅,且A∪B=Ω,则A与B对立2.事件的运算定义表示法图示并事件给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)记作A+B(或A∪B)交事件给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)记作AB(或A∩B)3.用频率估计概率一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mn,其中,m是n次重复试验事件A发生的次数,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn.易错点2.古典概型和几何概型公式理解错误1.古典概型一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.2.古典概型的概率公式古典概型中,假设样本空间含有n个样本点,如果事件C包含有m个样本点,则P(C)=mn.3.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。比如:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等。用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型与古典概型相对,将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。这个概念在我国初中数学中就开始介绍了。古典概型与几何概型的主要区别在于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。4.概率的性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0;性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为∅⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).易错点3.条件概率和全概率公式理解错误1.相互独立事件一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件A与B相互独立,则A-与B-,A与B,A-与B-也相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,当事件B发生的概率大于0(即P(B)0)时,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=P(A∩B)P(B).(2)两个公式①利用古典概型,P(B|A)=n(AB)n(A);②概率的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,则BA与BA-是互斥的,且B=BΩ=B(A+A-)=BA+BA-,从而P(B)=P(BA+BA-)=P(BA)+P(BA-),当P(A)0且P(A-)0时,有P(B)=P(A)P(B|A)+P(A-)P(B|A-).1.已知PA、PB分别表示随机事件A、B发生的概率,那么1PAB是下列哪个事件的概率()A.事件A、B同时发生B.事件A、B至少有一个发生C.事件A、B都不发生D.事件A、B至多有一个发生【答案】D【详解】AB表示随机事件A、B同时发生,所以1PAB就是事件A、B至多有一个发生.故选:D2.北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕,2月20日闭幕,小林观看了本届冬奥会后,打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【详解】解:记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种情况,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种情况,所以所求概率为3162.故选:C.3.从两名男生,两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动,则所选两名同学性别不同的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】D【详解】两名男生标记为1a,2a,两名女生标记为1b,2b.从中随机选2名参加社会实践的事件有12,aa,11,ab,12,ab,21,ab,22,ab,12,bb,共计6种.其中两名同学性别不同的事件有11,ab,12,ab,21,ab,22,ab,共计4种,所求概率4263P.故选:D.4.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为()A.310B.35C.710D.45【答案】A【详解】解:从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件总数()10n,设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}则()3nA∴()3()()10nAPAn故选:A.5.如图矩形由六个相同的小正方形组合而成,其中阴影部分形如一个逗号.若在该矩形中任取一点,则该点落在阴影部分的概率为().A.π132B.π143C.π146D.π136【答案】C【详解】如图所示,两个图形中阴影部分面积相等,设小正方形边长为1,则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的14,再减去一个小正方形,阴影部分面积为π13π4π11242,矩形的面积为6,由几何概型公式可知,若在该矩形中任取一点,则该点落在阴影部分的概率为3π1π12646,故选:C1.在区间10,2随机取1个数,则取到的数小于13的概率为()A.34B.23C.13D.16【答案】B【详解】设“区间10,2随机取1个数”,对应集合为:102xx,区间长度为12,A“取到的数小于13”,对应集合为:103xx,区间长度为13,所以10231302lAPAl.故选:B.2.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【详解】对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42,A选项结论正确.对于B选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816,B选项结论正确.对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416,C选项结论错误.对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616,D选项结论正确.故选:C3.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8【答案】C【详解】解:将3个1和2个0随机排成一行,可以是:00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为:01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种方法,故2个0不相邻的概率为6=0.610,故选:C.4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.23【答案】C【详解】[方法一]:【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张,共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155.[方法二]:有序从6张卡片中无放回抽取2张,共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况,其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况,故概率为122305.故选:C.5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.110B.310C.35D.910【答案】D【详解】试题分析:从装有3个红球,2个白球的袋中任取3个球,共有基本事件3510C种,则全取红球的基本事件只有一种,所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010,故选D.一、单选题1.口袋中共有2个白球2个黑球,从中随机取出两个球,则两个球颜色不同的概率为()A.23B.12C.13D.14【答案】A【详解】设2个白球分别为,AB,2个黑球为,ab,从中随机取出两个球,则所有可能的情况有,AB,,Aa,,Ab,,Ba,,Bb,,ab共6种情况,其中两个球颜色不同的情况有,Aa,,Ab,,Ba,,Bb共4种情况,故两个球颜色不同的概率为4263故选:A2.一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆,点击圆周上点A后该点在圆周上随机转动,最终落点为B,当线段AB的长不小于2r时自动播放音乐,则一次转动能播放出音乐的概率为()A.13B.23C.12D.56【答案】C【详解】如图,连接AO,过O作直径MN,使得AOMN,连接AM则可得2AMr满足条件点B位于下半圆(包括端点,MN),其概率为π12π2rPr故选:C.3.我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”,取得了优异的成绩,在某项决赛中选手可以滑跳三次,然后取三次中最高的分数作为该选手的得分,谷爱凌为了取得佳绩,准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳,设每轮滑跳的成功率为0.4,利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数,我们用0,1,2,3表示滑跳成功,4,5,6,7,8,9表示滑跳不成功,现以每3个随机数为一组,作为3轮滑跳的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:931,502,659,491,275,937,740,632,845,302.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至
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