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微重点5三角函数中ω,φ的范围问题三角函数中ω,φ的范围问题,是高考的重点和热点,主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω,φ的取值范围,难度中等偏上.考点一三角函数的最值(值域)与ω,φ的取值范围例1(1)若函数f(x)=sinωx-π4(ω0)在0,π2上的值域是-22,1,则ω的取值范围是()A.0,32B.32,3C.3,72D.52,72答案B解析因为ω0,所以当x∈0,π2时,ωx-π4∈-π4,ωπ2-π4.又因为函数f(x)=sinωx-π4(ω0)在0,π2上的值域是-22,1,所以π2≤ωπ2-π4≤5π4,解得32≤ω≤3.(2)已知函数f(x)=sinωx+acosωx(a0,ω0)的最大值为2,若使函数f(x)在区间[0,3]上至少取得两次最大值,则ω的取值范围是________.答案13π18,+∞解析f(x)=sinωx+acosωx=1+a2sin(ωx+φ),因为f(x)max=1+a2=2,a0,故a=3,原式为f(x)=2sinωx+π3,当f(x)取到最大值时,ωx+π3=π2+2kπ,k∈Z,当x∈[0,3],f(x)取得两次最大值时,k分别为0和1,当k=1时,ωx+π3=π2+2π,x=13π6ω,此时需满足13π6ω≤3,解得ω≥13π18.规律方法求三角函数的最值(值域)问题,主要是整体代换ωx±φ,利用正、余弦函数的图象求解,要注意自变量的范围.跟踪演练1已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|π2的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π,若对任意的x∈π24,π3,不等式f(x)12恒成立,则φ的取值范围是()A.π12,π6B.π12,π3C.π6,π3D.π6,π2答案A解析因为函数y=f(x)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π,所以函数y=f(x)的最小正周期为T=π,所以ω=2πT=2,所以f(x)=sin(2x+φ).当x∈π24,π3时,π12+φ2x+φ2π3+φ.因为-π2φπ2,所以-5π12π12+φ7π12,π62π3+φ7π6.又因为不等式f(x)12对任意的x∈π24,π3恒成立,所以π12+φ≥π6,2π3+φ≤5π6,解得π12≤φ≤π6.因此φ的取值范围是π12,π6.考点二单调性与ω,φ的取值范围例2(1)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω0)在π16,π8上单调递减,则ω的最大值为____________.答案10解析f(x)=sinωx+π4,当x∈π16,π8且ω0时,πω16+π4ωx+π4πω8+π4,因为f(x)在区间π16,π8上单调递减,所以πω16+π4,πω8+π4⊆π2+2kπ,3π2+2kπ(k∈Z),即πω16+π4≥π2+2kπk∈Z,πω8+π4≤3π2+2kπk∈Z,解得4+32k≤ω≤10+16k(k∈Z),因为ω0,从而4≤ω≤10,因此,ω的最大值为10.(2)(2022·柳州模拟)若直线x=π4是曲线y=sinωx-π4(ω0)的一条对称轴,且函数y=sinωx-π4在区间0,π12上不单调,则ω的最小值为()A.9B.7C.11D.3答案C解析因为直线x=π4是曲线y=sinωx-π4(ω0)的一条对称轴,则π4ω-π4=kπ+π2,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,由-π2≤ωx-π4≤π2得-π4ω≤x≤3π4ω,则函数y=sinωx-π4在-π4ω,3π4ω上单调递增,而函数y=sinωx-π4在区间0,π12上不单调,则3π4ωπ12,解得ω9,所以ω的最小值为11.规律方法若三角函数在区间[a,b]上单调递增,则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子集,利用集合的包含关系即可求解.跟踪演练2已知f(x)=sin(2x-φ)0φπ2在0,π3上单调递增,且f(x)在0,7π8上有最小值,那么φ的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π4C.π3,π2D.π4,π3答案B解析由x∈0,π3,可得2x-φ∈-φ,2π3-φ,又由0φπ2,且f(x)在0,π3上单调递增,可得2π3-φ≤π2,所以π6≤φ<π2.当x∈0,7π8时,2x-φ∈-φ,7π4-φ,由f(x)在0,7π8上有最小值,可得7π4-φ3π2,所以φπ4.综上,π6≤φπ4.考点三零点与ω,φ的取值范围例3(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()A.53,136B.53,196C.136,83D.136,196答案C解析由题意可得ω0,故由x∈(0,π),得ωx+π3∈π3,πω+π3.根据函数f(x)在区间(0,π)上恰有三个极值点,知5π2πω+π3≤7π2,得136ω≤196.根据函数f(x)在区间(0,π)上恰有两个零点,知2ππω+π3≤3π,得53ω≤83.综上,ω的取值范围为136,83.(2)(2022·龙岩质检)已知函数f(x)=2sinωx-π6+b(ω0),若f(x)关于点(a,1)对称,且f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点,则f34的取值范围是()A.-1,32B.[-1,3)C.[-1,3+1)D.[0,3+1)答案C解析因为f(x)关于点(a,1)对称,所以b=1.所以f(x)=2sinωx-π6+1(ω0),令f(x)=0,则2sinωx-π6+1=0,即sinωx-π6=-12,因为x∈[0,1],所以ωx-π6∈-π6,ω-π6,因为f(x)在区间[0,1]上有且仅有3个零点,所以11π6≤ω-π619π6,则2π≤ω10π3,又f34=2sin34ω-π6+1,所以4π3≤3ω4-π67π3,则-1≤sin3ω4-π632,所以-1≤2sin3ω4-π6+13+1,即-1≤f343+1.规律方法已知函数的零点、极值点求ω,φ的取值范围问题,一是利用三角函数的图象求解;二是利用解析式,直接求函数的零点、极值点即可,注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点.跟踪演练3设函数f(x)=sinωx+π5(ω0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点.给出以下四个结论:①f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点;②f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点;③f(x)在0,π10上单调递增;④ω的取值范围是125,2910.其中所有正确结论的序号是()A.①④B.②③C.①②③D.①③④答案D解析如图,根据题意知,xA≤2πxB,根据图象可知函数f(x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点,所以①正确;但可能会有3个极小值点,所以②错误;根据xA≤2πxB,有24π5ω≤2π29π5ω,得125≤ω2910,所以④正确;当x∈0,π10时,π5ωx+π5ωπ10+π5,因为125≤ω2910,所以ωπ10+π549π100π2,所以函数f(x)在0,π10上单调递增,所以③正确.专题强化练1.(2022·安康模拟)已知函数f(x)=Atanωx+π3(A0,ω0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合,则实数ω的最小值是()A.43B.83C.163D.8答案A解析由题意可知,3π4是该函数的周期的整数倍,即3π4=πω×k,k∈Z,解得ω=4k3,k∈Z,又ω0,故其最小值为43.2.(2022·湖南六校联考)将函数f(x)=3sinx-π6的图象向右平移φ(0φπ)个单位长度后得到g(x)的图象.若g(x)在π6,5π6上单调递增,则φ的取值范围为()A.π3,π2B.π6,π2C.π3,2π3D.π2,2π3答案B解析g(x)=3sinx-π6-φ,当π6x5π6时,-φx-π6-φ2π3-φ,由0φπ,得-φ∈(-π,0),2π3-φ∈-π3,2π3,有-φ≥-π2,2π3-φ≤π2,得π6≤φ≤π2.3.已知ω112,函数f(x)=sin2ωx+π4在区间π2,3π2内没有最值,则ω的取值范围为()A.16,12B.512,1124C.14,512D.512,1答案C解析由2ωx+π4=kπ+π2,k∈Z,得x=4k+18ωπ,k∈Z,因为函数f(x)=sin2ωx+π4在区间π2,3π2内没有最值,所以对任意k∈Z,都有4k+18ωπ∉π2,3π2,当ω=12,k=1时,4k+18ωπ=5π4∈π2,3π2,故选项A,D不正确;当ω=1124时,存在k=1使得4k+18ωπ=15π11∈π2,3π2,故选项B不正确.4.(2022·邵阳模拟)设函数f(x)=sinωx+π6(ω0),已知f(x)在-π6,π4上单调递增,则f(x)在(0,2π)上的零点最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案A解析由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω,k∈Z,取k=0,可得-2π3ω≤x≤π3ω.若f(x)在-π6,π4上单调递增,则-2π3ω≤-π6,π3ω≥π4,解得0ω≤43.若x∈(0,2π),则ωx+π6∈π6,2ωπ+π6.设t=ωx+π6,则t∈π6,2ωπ+π6,因为2ωπ+π6∈π6,17π6,所以函数y=sint在π6,2ωπ+π6上的零点最多有2个.所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω0,|φ|π2,f-π8=0,f(x)≤f3π8恒成立,且f(x)在区间-π12,π24上单调,那么下列说法中正确的是()①存在φ,使得f(x)是偶函数;②f(0)=f3π4;③ω是奇数;④ω的最大值为3.A.①②③B.①③C.②④D.②③答案D解析由f(x)≤f3π8,知x=3π8为函数f(x)图象的一条对称轴,所以f(0)=f3π4.又f-π8=0,所以2n+14·T=3π8--π8=π2(n∈Z),即2n+14·2πω=π2(n∈Z),即ω=2n+1(n∈Z).因为f(x)在-π12,π24上单调,所以T2=πω≥π24--π12=π8,所以ω≤8,所以ωmax=7.因为|φ|π2,所以φ≠π2+kπ(k∈Z),所以不存在φ,使得f(x)是偶函数.6.(2022·萍乡模拟)设函数f(x)=sin2x+π4在区间a,a+π3上的最大值为M,最小值为m,则M-m的最小值为()A.22B.12C.1-22D.2-12答案B解析当x∈a,a+π3时,2x+π4∈2a+π4,2a+π4+2π3,令2x+π4=t,2a+π4=h,则问题转化为g(t)=sint在h,h+2π3上的最大值是M,最小值是m,由正弦函数性质,可知g(t)=sint的周期是2π,要使得M-m最小,则g(t)的最大值或最小值点是区间
本文标题:2023年高考数学二轮复习(全国版文) 第1部分 专题突破 专题2 微重点5 三角函数中ω,φ的范围
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