2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题4 第2讲　空间点、直线、平面之间的

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系[考情分析]高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是空间线面关系的命题的真假判断；二是体积、表面积的求解；解答题以垂直或平行关系的证明为主，中等难度．考点一空间直线、平面位置关系的判定核心提炼判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．例1(1)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A选项，两个平行平面内的两条直线，可能平行，或者异面，A选项错误；B选项，若m⊥α，n⊥β，则直线m，n对应的方向向量m，n可看作α，β的法向量，由于m∥n，α，β是两个不同的平面，则α∥β，故B选项错误；C选项，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于两个平面交线的直线才垂直于另一个平面，从选项中无法判断m，n和交线的位置关系，因此m，n可能相交但不垂直，平行，异面但不垂直，C选项错误；D选项，若m⊂β，又m⊥α，根据面面垂直的判定定理，即有α⊥β，若m⊄β，由于m∥n，n∥β，则m∥β，过m任作一个平面，使其和β相交于直线c，根据线面平行的性质定理，m∥c，又m⊥α，则c⊥α，结合c⊂β，即α⊥β，故D选项正确.(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有________．(填序号)①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错误；如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错误；因为点B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确，同理④正确．规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立．跟踪演练1(1)(2022·湖南师大附中模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论不正确的是()A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面答案C解析如图，因为AA1∥CC1，则A，A1，C1，C四点共面．因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O，A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，从而M，O，A1，A四点共面，A，O，C，M四点共面．由长方体性质知，OM与BB1是异面直线，即B，B1，O，M四点不共面．(2)设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是线段MB的中点，则()A．ME≠DF，且直线ME，DF是相交直线B．ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线C．ME≠DF，且直线ME，DF是异面直线D．ME＝DF，且直线ME，DF是异面直线答案B解析连接EF，如图所示，由题意知AB⊥AD，AB⊥AM，AM＝AD，AB＝AB，则Rt△BAM≌Rt△BAD，所以BM＝BD，因为E，F分别为BD，BM的中点，则EF∥DM，因为FM＝12BM＝12BD＝DE，故四边形FMDE是等腰梯形，所以ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线．考点二空间角核心提炼(1)异面直线所成的角：先通过平移直线，作出异面直线所成的角，再通过解三角形求角．(2)线面角：先找出斜线在平面上的射影，斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为线面角，作线面角的关键是作平面的垂线．(3)二面角：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，即可得到二面角的平面角．例2(1)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列结论正确的是________．(填序号)①直线BC1与DA1所成的角为90°；②直线BC1与CA1所成的角为90°；③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°；④直线BC1与平面ABCD所成的角为45°.答案①②④解析如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故①正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故②正确；连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝2a，OC1＝2a2，所以在Rt△BOC1中，OC1＝12BC1，所以∠OBC1＝30°，故③错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故④正确．(2)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1∥平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为________．答案－2解析如图，连接BD交AC于点F，连接EF，B1D1，由题意可知，BD1∥EF，因为F为BD的中点，所以E为DD1的中点，又AC⊥平面BDD1B1，BD，EF⊂平面BDD1B1，所以EF⊥AC，BD⊥AC，则∠EFD为二面角E－AC－D的平面角，设AD＝a，则ED＝a，DF＝22a，在Rt△EFD中，tan∠EFD＝EDDF＝2，又二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，所以二面角E－AC－B的正切值为－2.易错提醒异面直线所成的角的范围是0，π2，线面角的取值范围是0，π2，二面角的取值范围是[0，π]．跟踪演练2(1)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为()A.1112B.2324C.34D.56答案B解析如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角．由题意可知PD＝CD＝BE＝26，EF＝6，BF＝()62＋12＝7，所以cos∠BEF＝24＋6－72×26×6＝2324.(2)(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则()A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°答案D解析连接BD，如图，易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，设BB1＝1，则B1D＝2BB1＝2，BD＝B1D2－BB21＝3.易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.因为B1D＝2，所以AD＝1，AB1＝B1D2－AD2＝3，所以在Rt△ABB1中，AB＝AB21－BB21＝2，所以A项错误；易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角，因为在Rt△ABB1中，sin∠BAB1＝BB1AB1＝33≠12，所以∠BAB1≠30°，所以B项错误；在Rt△CBB1中，CB1＝BC2＋BB21＝2，又AC＝BD＝3，所以C项错误；易知∠DB1C是直线B1D与平面BB1C1C所成的角，因为在Rt△DB1C中，CB1＝CD＝2，所以∠DB1C＝45°，所以D项正确．考点三空间平行、垂直关系核心提炼平行关系及垂直关系的转化考向1平行、垂直关系的证明例3(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F－ABC的体积．(1)证明因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，又E为AC的中点，所以AC⊥BE.因为BE∩DE＝E，且BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)解由(1)可知BA＝BC，又因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC为边长为2的正三角形，则AC＝2，BE＝3，AE＝1.因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1.又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.连接EF(图略)，易知当△AFC的面积最小时，EF取最小值，在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝DE·BEBD＝32.由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝12，FB＝32.方法一因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC，则F到平面ABC的距离d＝BFBD·DE＝34.故VF－ABC＝13S△ABC·d＝13×34×4×34＝34.方法二由(1)知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF⊂平面ACF，所以BD⊥平面ACF，所以BF即B到平面ACF的距离，故VF－ABC＝VB－AFC＝13S△AFC·BF＝13×12·AC·EF·BF＝13×12×2×32×32＝34.考向2翻折问题例4(2022·西北工业大学附属中学模拟)如图1，在正方形ABCD中，M，N，E分别为AB，AD，BC的中点，点P在对角线AC上，且CPPA＝35.将△AMN，△BMC，△DNC分别沿MN，MC，NC折起，使A，B，D三点重合(记为点F)，得到四面体MNCF，如图2.(1)若正方形ABCD的边长为12，求图2所示的四面体MNCF的体积；(2)在图2中，求证：EP∥平面FMN.(1)解由题意知，在图2中CF⊥FM，CF⊥FN，FM∩FN＝F，FM，FN⊂平面FMN，∴CF⊥平面FMN，且FM＝FN＝6，FC＝12，∴V四面体MNCF＝V三棱锥C－FMN＝13×12×6×6×12＝72.∴四面体MNCF的体积为72.(2)证明在正方形ABCD中．设AC∩MN＝G，S为DC的中点，连接BD，ES，AC∩BD＝Q，AC∩ES＝R，如图，则AG＝GQ＝QR＝RC，又CPPA＝35.得P为GC的中点．在图2中，易知MN的中点为G，又E为FC的中点，∴EP为△CFG的中位线，∴EP∥FG.∵EP⊄平面FMN，FG⊂平面FMN.∴EP∥平面FMN.易错提醒翻折问题应注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．跟踪演练3(2022·西安模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，AC1的中点．(1)