2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 微重点15　抛物线的二级结论的应

微重点15抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为αα≠π2的直线l经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1－cosα，|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α，③S△OAB＝p22sinα(O为坐标原点)，④x1x2＝p24，y1y2＝－p2，⑤1|AF|＋1|BF|＝2p，⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．考向1焦半径、弦长问题例1(1)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈0，π2，则直线l2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝2psin2θ＝4sin2θ，|DE|＝2psin2π2＋θ＝4cos2θ，∴|AB|＋|DE|＝4sin2θ＋4cos2θ＝4sin2θcos2θ＝16sin22θ≥16，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取等号．∴|AB|＋|DE|的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________.答案163解析直线l的倾斜角α＝60°，由|AF|＝p1－cosα＝4，得p＝4(1－cosα)＝2，∴|AB|＝2psin2α＝434＝163.考向2面积问题例2(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为π6的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．答案64解析方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝3y＋4.由x＝3y＋4，y2＝16x，消去x，得y2－163y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝163，y1y2＝－64.S△OAB＝12|y1－y2|·|OF|＝2y1＋y22－4y1y2＝21632－4×－64＝64.方法二(活用结论)依题意知，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝π6.所以S△OAB＝p22sinα＝822sinπ6＝64.考向31|AF|＋1|BF|＝2p的应用例3(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|最小值为()A．2B．26＋3C．4D．3＋22答案D解析因为p＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝2p＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·1|AF|＋1|BF|＝3＋2|AF||BF|＋|BF||AF|≥3＋22|AF||BF|·|BF||AF|＝3＋22，当且仅当|BF|＝2|AF|时，等号成立，因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋22.考向4利用平面几何知识例4(2022·遂宁模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l1交于点M，若PM→＝2FP→，则|FQ||PQ|等于()A.13B.34C.43D．3答案B解析如图，过点P作准线的垂线交于点H，由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m0)，过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|＝|QF|，∵PM→＝2FP→，∴|PM|＝2m，根据△PHM∽△QEM，可得|PH||PM|＝|QE||QM|＝12，∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m.∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m，∴|FQ||PQ|＝3m3m＋m＝34.易错提醒焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1(1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB→＝3FB→，S△OAB＝23|AB|，则|AB|的值为()A.92B.29C．4D．2答案A解析如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈0，π2，∵AB→＝3FB→∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由1|BF|＋1|AF|＝2p，得1t＋12t＝2p⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p，又|AB|＝2psin2α，∴2psin2α＝94p⇒sinα＝223，又S△AOB＝23|AB|，∴p22sinα＝23|AB|，即p2423＝23·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.(2)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法不正确的是()A．线段AB长度的最小值为2B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO答案A解析如图，取AB的中点为C，作CD⊥GH，垂足为D，当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；∵直线y＝－1为准线，∴|CD|＝12(|AH|＋|BG|)＝12|AB|，故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，故B正确；又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，∴∠BFG＝∠MFG，同理可得∠AFH＝∠MFH，又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，∴FG⊥FH.即∠HFG＝90°，故C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝kx＋1，由y＝kx＋1，x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，∴x1x2＝－4，x1＋x2＝4k，kAM＋kBM＝y1＋1x1＋y2＋1x2＝kx1＋2x1＋kx2＋2x2＝2k＋2x1＋x2x1x2＝2k＋2·4k－4＝0，∴∠AMO＝∠BMO，故D正确．考点二定点问题核心提炼抛物线方程为y2＝2px(p0)，过(2p，0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立．例5如图，已知直线与抛物线x2＝2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为()A．2B．4C.32D.52答案D解析如图，令AB与y轴交于点C，∵OA⊥OB，∴AB过定点C(0,2p)，又D(2,4)，∴CD→＝(2,4－2p)，OD→＝(2,4)，∵OD⊥AB，∴CD→·OD→＝0，即4＋4(4－2p)＝0，解得p＝52.易错提醒要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积的最小值为________．答案16解析如图，∵OA⊥OB，∴直线AB过定点(2p，0)，即点C坐标为(4,0)，设直线AB：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x＝ty＋4，y2＝4x⇒y2－4ty－16＝0，Δ＝16t2＋640，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，∴S△AOB＝12|OC||y1－y2|＝2|y1－y2|＝216t2＋64，∴当t＝0时，Smin＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA→·OB→等于()A.34B．－34C．3D．－3答案D解析方法一抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝ty＋1，y2＝4x，得y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋160恒成立，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝y214·y224＋y1y2＝1616＋(－4)＝－3.方法二因为AB过抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24＝1，y1y2＝－p2＝－4，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝－3.2.如图，过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB|等于()A．8B．9C．10D．12答案B解析如图所示，令|BF|＝t，则|BB′|＝t，又B为AC的中点，∴|AA′|＝|AF|＝2t，∴|BC|＝|AB|＝|AF|＋|BF|＝3t，又△CBB′∽△CFE，∴|BC||CF|＝|BB′||FE|，即3t3t＋t＝tp⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p＝9.3．倾斜角为π4的直线l交抛物线C：y2＝2px(p0)于A，B两点，且OA⊥OB，S△AOB＝85，则抛物线C的方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝42xD．y2＝8x答案B解析∵OA⊥OB，∴直线过定点(2p，0)设直线l的方程为x＝y＋2p，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x＝y＋2p，y2＝2px，得y2－2py－4p2＝0，Δ＝4p2－4×(－4p2)＝20p20，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－4p2，S△AOB＝12·2p·|y1－y2|＝py1＋y22－4y1y2＝p·4p2＋16p2＝25p2＝85，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.4．直线l过抛物线y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为()A．43B．83C．163D．323答案C解析不妨令直线l的倾斜角为θ，则|AF|＝p1－cosθ＝31－cosθ，|BF|＝p1＋cosθ＝31＋cosθ，又|AF|＝3|BF|，∴31－cosθ＝3·31＋cosθ，解得cosθ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF|＝31－cosθ＝6，|BF|＝31＋cosθ＝2，∴|AA′|＝6，|BB′|＝2，∴|A′B′|＝|AB|sinθ＝8×32＝43，∴S四边形ABB′A′＝12×(2＋6)×43＝163.5．(2022·聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，则()A．C的准线方程为x＝－2B．若|AF|＝4，则|OA|＝25C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±3D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4答案D解析对于A，因为抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；对于B，若|AF|＝4，则xA＝3，所以y2A＝4xA＝12，所以|OA|＝x2A＋y2A＝21，故B错误；对于C，设直线AB的倾斜角为α，α∈(0，π)，则|AF||BF|＝p1－cosα·p1＋cosα＝p2sin2α＝4p2，所以sin2α＝14，所以sinα＝12，所以α＝30°或150°，所以tanα＝±33，故C错误；对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，所以∠AHF＝∠OFH，∠OFB＝∠HAF，所以∠AHF＝∠HAF，所以HF＝AF＝AH，所以xA＋xH2＝xF，即xA＝3，所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正确．6．(2022·武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F，且与抛物线C相交于A，B两