2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第3部分 思想方法　第2讲　数形结合思想

第2讲数形结合思想思想概述数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．例1(1)已知函数f(x)＝|log2－x|，x0，－3x2＋3x＋1，x≥0，若函数F(x)＝a－f(x)有四个零点，分别为x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是()A.0，14B.0，14C.1，74D.1，74思路分析作fx的图象→x1x2＝1→x3，x4是方程－3x2＋3x＋1＝a的两根→结合函数图象得x3x4及a的范围答案B解析由题意知，函数f(x)＝|log2－x|，x0，－3x2＋3x＋1，x≥0的图象如图所示，函数F(x)＝a－f(x)有四个零点x1，x2，x3，x4，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点，且这些交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，不妨令x1x20x3x4，则log2(－x1)＝－log2(－x2)，可得x1x2＝1.当x≥0时，函数f(x)＝－3x2＋3x＋1＝－3x－122＋74，且f(0)＝1，要使y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个交点，则1≤a74.令－3x2＋3x＋1＝a，即3x2－3x－1＋a＝0，可得x3x4＝a－13，即0≤x3x414，所以x1x2x3x4的取值范围是0，14.(2)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]思路分析作出函数y＝|fx|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解答案D解析由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，当直线介于l与x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．规律方法方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．方法二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．例2(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是()A．[0,22＋2]B．[0,2]C．[22－2,22＋2]D．[22－2,2]思路分析作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝OD→→求|CD→|的最值.答案D解析如图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝a＋b，∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|CD→|.|CD→|的最大值是|BD→|＝2，|CD→|最小值为|OD→|－2＝22－2.规律方法应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．方法三几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．例3过双曲线x2－y248＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋7)2＋y2＝4和圆C2：(x－7)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．思路分析利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC1|，|PN|与|PC2|的关系→利用双曲线定义：|PC1|－|PC2|＝2a→利用|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|即可求解．答案25解析由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，由圆的方程知，圆C1圆心为C1(－7,0)，半径r1＝2；圆C2圆心为C2(7,0)，半径r2＝1.∵PM，PN分别为两圆切线，∴|PM|2＝|PC1|2－r21＝|PC1|2－4，|PN|2＝|PC2|2－r22＝|PC2|2－1，∴|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3，∵P为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为C1，C2，∴|PC1|－|PC2|＝2，又|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，∴|PM|2－|PN|2＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3≥14×2－3＝25，即|PM|2－|PN|2的最小值为25.规律方法几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．