2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 微重点1　函数的新定义问题

微重点1函数的新定义问题函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．考点一特征函数考向1高斯函数例1(2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是()A．f(x)是R上的增函数B．f(x)是周期函数C．f(x)是非奇非偶函数D．f(x)的值域是[0,1)答案A解析对于A，f(1)＝f(2)＝0，故A错误；对于B，因为f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，故B正确；对于C，f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，f(1.2)≠±f(－1.2)，所以f(x)是非奇非偶函数，故C正确；对于D，根据[x]的定义可得x－1[x]≤x，则0≤x－[]x1，即f(x)的值域是[0,1)，故D正确．考向2狄利克雷函数例2德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是()A．f(x)的定义域为{0,1}B．f(x)的值域为[0,1]C．∃x∈R，f(f(x))＝0D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立答案D解析因为f(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．考向3黎曼函数例3(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝1p，x＝qpp，q都是正整数，qp是既约真分数，0，x＝0，1或[0，1]上的无理数.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2022)＋f－20225＝________.答案－15解析∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴f(2＋x)＝－f(2－x)．又f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为4.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴令x＝0，可得f(2)＝0，∴f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.f－20225＝－f20225＝－f4×101＋25＝－f25＝－R25＝－15，∴f(2022)＋f－20225＝－15.考向4欧拉函数例4(2022·重庆八中调研)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是()A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1C．φ(32)＝15D．φ(2n＋2)φ(2n)，n∈N*答案A解析因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C不正确；因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．规律方法以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．跟踪演练1(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则()A．sgn[f(x)]0B．f20212＝1C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)D．sgn[f(k)]＝|sgnk|(k∈Z)答案C解析对于A选项，sgn[f(0)]＝sgn0＝0，A错；对于B选项，f20212＝f1010＋12＝f12＝12，B错；对于C选项，对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，则sgn[f(2k＋1)]＝sgn1＝1，C对；对于D选项，取k＝2，则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn0＝0，而|sgn2|＝1，D错．(2)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着广泛的实际应用．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinhx＝ex－e－x2和双曲余弦函数coshx＝ex＋e－x2.令f(x)＝sinhxcoshx，得到下面的结论：①f(x)为偶函数；②f(x)为奇函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递增；④f(x)在(0，＋∞)上单调递减．其中正确的是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案B解析由已知可得f(x)＝sinhxcoshx＝e2x－e－2x4，所以f(－x)＝－e2x－e－2x4＝－f(x)，故f(x)为奇函数，所以①错误，②正确；因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝e2x－e－2x4在(0，＋∞)上单调递增，所以③正确，④错误．考点二“新定义”函数的性质、运算法则等例5(1)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x3；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案C解析设等比数列{an}的公比为q.对于①，fan＋1fan＝a3n＋1a3n＝an＋1an3＝q3，故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；对于②，fan＋1fan＝11222nnnnaaaa≠常数，故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；对于③，fan＋1fan＝|an＋1||an|＝an＋1an＝|q|，故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；对于④，fan＋1fan＝ln|an＋1|ln|an|＝ln|an·q|ln|an|＝ln|an|＋ln|q|ln|an|＝1＋ln|q|ln|an|≠常数，故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”．(2)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，有gx1＋x22gx1＋gx22时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”，称函数g(x)在[a，b]上为“凹函数”，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)0.则下列函数中在所给定义域上“严格上凹”的是()A．f(x)＝log2x(x0)B．f(x)＝2ex＋xC．f(x)＝－x3＋2xD．f(x)＝sinx－x2(0xπ)答案B解析由题意可知，若函数在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x(x0)，则f″(x)＝1xln2′＝－1ln2·1x20在(0，＋∞)上恒成立，不符合题意，故选项A错误；对于B，f(x)＝2ex＋x，则f″(x)＝2ex0恒成立，符合题意，故选项B正确；对于C，f(x)＝－x3＋2x，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x，当x0时，f′(x)0，不符合题意，故选项C错误；对于D，f(x)＝sinx－x2(0xπ)，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－20在(0，π)上恒成立，不符合题意，故选项D错误．规律方法利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义．进一步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹函数，否则函数不是凹函数.跟踪演练2(1)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给出下列函数：①g(x)＝12x2；②g(x)＝－ex－2x；③g(x)＝lnx；④g(x)＝sinx＋2cosx.其中只有1个“新不动点”的函数是________．(填序号)答案②③解析对于①，g(x)＝12x2，则g′(x)＝x，令12x2＝x，得x＝0或x＝2，故函数g(x)有2个“新不动点”，不符合题意；对于②，g(x)＝－ex－2x，则g′(x)＝－ex－2，令－ex－2x＝－ex－2，得x＝1，故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；对于③，g(x)＝lnx，则g′(x)＝1x，令h(x)＝lnx－1x(x0)，则h′(x)＝1x＋1x2＝x＋1x20，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝－10，h(e)＝1－1e0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈(1，e)，即lnx＝1x有唯一实数根，故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；对于④，g(x)＝sinx＋2cosx，则g′(x)＝cosx－2sinx，令sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，得3sinx＝－cosx，即tanx＝－13，因为函数y＝tanx的周期为π，所以tanx＝－13的根有无数个，故函数g(x)有无数个“新不动点”，不符合题意．(2)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(ⅰ)a★b＝b★a；(ⅱ)a★0＝a；(ⅲ)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.若函数f(x)＝x★1x，则下列说法正确的是________．(填序号)①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；④函数f(x)不是周期函数．答案①③④解析对于新运算“★”的性质(ⅲ)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★1x＝1＋x＋1x，当x0时，f(x)＝1＋x＋1x≥1＋2x·1x＝3，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②错误；f′(x)＝1－1x2＝x2－1x2，令f′(x)0，则x－1或x1，所以函数f(x)＝1＋x＋1x的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故③正确；由③知，函数f(x)＝1＋x＋1x不是周期函数，故④正确．专题强化练1．(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝a－d1＋xcb＋d(x0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一条递增(或递减)的类似指数或对数的曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是()A．