2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题1 第1讲　函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．考点一函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．例1(1)(2022·南阳检测)已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，则函数g(x)＝f(x－1)＋2x－1的定义域是()A．{x|x0或x2}B.x12≤x2C．{x|x2}D.xx≥12答案B解析要使f(x)＝lg1－x1＋x有意义，则1－x1＋x0，即(1－x)(1＋x)0，解得－1x1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．要使g(x)＝f(x－1)＋2x－1有意义，则－1x－11，2x－1≥0，解得12≤x2，所以函数g(x)的定义域为x12≤x2.(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝x2＋2a，x1，－x，x1，若f(1－a)f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．答案(－2，－1)∪(0，＋∞)解析由题意知，a≠0.①当a0时，1－a1,1＋a1，∴－(1－a)(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋20，解得－2a－1，又a0，∴a∈(－2，－1)；②当a0时，1－a1,1＋a1，∴(1－a)2＋2a－(1＋a)，化简得a2＋a＋20，解得a∈R，又a0，∴a∈(0，＋∞)，综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．规律方法(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．跟踪演练1(1)(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝x－3，x≥10，ffx＋4，x10，则f(8)等于()A．10B．9C．7D．6答案C解析因为f(x)＝x－3，x≥10，ffx＋4，x10，则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.(2)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．则下列为“M函数”的是________．(填序号)①y＝sinxcosx；②y＝lnx＋ex；③y＝2x；④y＝x2－2x.答案①②解析由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．①中，y＝sinxcosx＝12sin2x∈－12，12，其值域关于原点对称，故①是“M函数”；②中，函数y＝lnx＋ex的值域为R，故②是“M函数”；③中，因为y＝2x0，故③不是“M函数”；④中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故④不是“M函数”．考点二函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．考向1函数图象的识别例2(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cosx在区间－π2，π2上的图象大致为()答案A解析方法一(特值法)取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos10；取x＝－1，则y＝13－3cos(－1)＝－83cos10.结合选项知选A.方法二令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cosx是奇函数，排除B，D；取x＝1，则y＝3－13cos1＝83cos10，排除C，故选A.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是()A．y＝－x3＋3xx2＋1B．y＝x3－xx2＋1C．y＝2xcosxx2＋1D．y＝2sinxx2＋1答案A解析对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜π2时，0＜cosx＜1，故y＝2xcosxx2＋1＜2xx2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.考向2函数图象的变换及应用例3(1)已知函数f(x)＝－2x－1≤x≤0，x0x≤1，则下列图象错误的是()答案D解析当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且该线段经过(－1,2)和(0,0)两点．当0x≤1时，f(x)＝x，表示一段曲线，函数f(x)的图象如图所示．f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确．(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，x≤0，2－x，x0，若存在x1，x2，x3(x1x2x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是()A．(0,1]B．[0,1]C．(－∞，1]D．(－∞，1)答案B解析作出f(x)的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，由图可知，x1，x2关于直线x＝－1轴对称，即x1＋x2＝－2，又x30，∴x1＋x2＋x3－2.由图象知，当x－2时，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]．规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．跟踪演练2(1)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)答案C解析图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．(2)函数f(x)＝cosx＋2ax2＋bx＋c的图象如图所示，则()A．a0，b＝0，c0B．a0，b＝0，c0C．a0，b0，c＝0D．a0，b＝0，c0答案A解析因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，所以f(－x)＝cos－x＋2a－x2＋b－x＋c＝cosx＋2ax2－bx＋c＝cosx＋2ax2＋bx＋c＝f(x)，解得b＝0，由图象可得f(0)＝3c0，得c0，由图象可得分母ax2＋c＝0有解，所以x2＝－ca有解，所以－ca0，解得a0.考点三函数的性质核心提炼1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．考向1单调性与奇偶性例4(2022·广东大联考)已知函数f(x)＝e|x|－cosx，则f65，f(0)，f－13的大小关系为()A．f(0)f65f－13B．f(0)f－13f65C．f65f－13f(0)D．f－13f(0)f65答案B解析∵f(x)＝e|x|－cosx，∴f(－x)＝e|－x|－cos(－x)＝e|x|－cosx＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f13＝f－13.当x0时，f(x)＝ex－cosx，则f′(x)＝ex＋sinx，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋sinx0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(0)f13f65，即f(0)f－13f65.考向2奇偶性、周期性与对称性例5(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则∑22k＝1f(k)等于()A．－21B．－22C．－23D．－24答案D解析由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，则f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以∑22k＝1f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.二级结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)或fx＋a＝1fx，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.跟踪演练3(1)(2022·开封模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，若f(2)＝0，且函数f(x－1)为偶函数，则不等式xf(x)0的解集为()A．(2，＋∞)B．(－4，－1)∪(0，＋∞)C．(－4，＋∞)D．(－4,0)∪(2，＋∞)答案D解析因为函数f(x－1)为偶函数，则f(－x－1)＝f(x－1)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因为函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，因为f(2)＝0，则f(－4)＝0，由f(x)0可得－4x2，由f(x)0可得x－4或x2，故由不等式xf(x)0，可得x0，fx0或x0，fx0，解得－4x0或x2，故不等式xf(x)0的解集为(－4,0)∪(2，＋∞)．(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)