2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题4 第2讲　空间点、直线、平面之间的

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系[考情分析]高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属中档题．考点一空间直线、平面位置关系的判定核心提炼判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．例1(1)(2022·广东联考)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m∥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n答案C解析对于选项A，m∥α，n∥α，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；对于选项B，因为α∥β，m⊥α，所以m⊥β.又n∥β，所以m⊥n，故B错误；对于选项C，由m∥α，则存在直线l⊂α，使得m∥l，又m⊥β，所以l⊥β，且l⊂α，所以α⊥β，故C正确；对于选项D，因为α⊥β，可设α∩β＝l，则当m∥l，n∥l时，可以得到m∥α，n∥β，但此时m∥n，故D错误．(2)(2022·金华模拟)每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点G，H，M，N分别是正八面体ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中点，则下列结论正确的是________．①四边形AECF是平行四边形；②GH与MN是异面直线；③GH∥平面EAB；④GH⊥BC.答案①③解析如图所示，连接AC，EF，设AC与EF的交点为O，连接BD，MH，EH，EM，则AC与EF相交且相互平分，故四边形AECF为平行四边形，故①正确；所以AE∥CF.又G，H，M，N分别是正八面体ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中点，连接MG，GH，NM，NH，所以GM∥AE，NH∥CF，且GM＝12AE，NH＝12CF，所以GM∥NH，且GM＝NH，所以四边形MNHG是平行四边形，即GH与MN是共面直线，故②错误；易证平面MNHG∥平面EAB，又GH⊂平面MNHG，所以GH∥平面EAB，故③正确；因为EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，EH，MH⊂平面EMH，所以BC⊥平面EMH，而GH⊄平面EMH，GH∩EH＝H，所以GH与BC不垂直，故④错误．规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立．跟踪演练1(1)(2022·湖南师大附中模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是()A．A，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．B，B1，O，M四点共面D．A，O，C，M四点共面答案C解析如图，因为AA1∥CC1，则A，A1，C1，C四点共面．因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，则点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理，O，A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，从而M，O，A1，A四点共面，A，O，C，M四点共面．由长方体性质知，OM与BB1是异面直线，即B，B1，O，M四点不共面．(2)设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是线段MB的中点，则()A．ME≠DF，且直线ME，DF是相交直线B．ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线C．ME≠DF，且直线ME，DF是异面直线D．ME＝DF，且直线ME，DF是异面直线答案B解析连接EF，如图所示，由题意知AB⊥AD，AB⊥AM，AM＝AD，AB＝AB，则Rt△BAM≌Rt△BAD，所以BM＝BD，因为E，F分别为BD，BM的中点，则EF∥DM，因为FM＝12BM＝12BD＝DE，故四边形FMDE是等腰梯形，所以ME＝DF，且直线ME，DF是相交直线．考点二空间平行、垂直关系核心提炼平行关系及垂直关系的转化考向1异面直线所成的角例2(1)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列结论正确的是________．(填序号)①直线BC1与DA1所成的角为90°；②直线BC1与CA1所成的角为90°；③直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°；④直线BC1与平面ABCD所成的角为45°.答案①②④解析如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故①正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故②正确；连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝2a，OC1＝2a2，所以在Rt△BOC1中，OC1＝12BC1，所以∠OBC1＝30°，故③错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故④正确．(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为________．答案2324解析如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角．由题意可知PD＝CD＝BE＝26，EF＝6，BF＝()62＋12＝7，所以cos∠BEF＝24＋6－72×26×6＝2324.考向2平行、垂直关系的证明例3如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点．(1)求证：BC1⊥平面AB1C；(2)求证：DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C,又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B，∵C1B⊂平面CC1B1B，∴AC⊥C1B，又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C∩AC＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF，∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC，又EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，同理可得DF∥平面AB1C，∵EF∩DF＝F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF,∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C.规律方法(1)证明线线平行的常用方法①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理．(2)证明线线垂直的常用方法①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直．跟踪演练2(2022·西安模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN⊥AA1；(2)在线段BC1上是否存在一点P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出点P的具体位置；若不存在，请说明理由．(1)证明连接A1C，如图，因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C为平行四边形，故A1C和AC1相交，且交点为它们的中点N，又因为M为A1B的中点，所以MN为△A1BC的中位线，所以MN∥BC.因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，所以AA1⊥MN，即MN⊥AA1.(2)解存在，当P为BC1的中点时，平面MNP∥平面ABC.连接PN，PM，如图，因为N为AC1的中点，P为BC1的中点，所以PN∥AB，又PN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PN∥平面ABC，又由(1)知MN∥BC，BC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，又MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，所以平面MNP∥平面ABC.考点三翻折问题核心提炼翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．例4(1)(2022·南宁模拟)已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点，CF＝2FB，CG＝2GD，将△ABD沿着BD翻折得到空间四边形A1BCD，则在翻折过程中，以下说法正确的是()A．EF∥GHB．EF与GH相交C．EF与GH异面D．EH与FG异面答案B解析如图，由CF＝2FB，CG＝2GD，得FG∥BD且FG＝23BD，由E为AB中点，H为AD中点，得EH∥BD且EH＝12BD，所以EH∥FG，且EH≠FG，所以四边形EFGH为梯形．梯形EFGH的两腰EF，HG延长必交于一点，所以EF与GH相交，EH与FG平行，故选项A，C，D不正确，选项B正确．(2)(2022·山东名校大联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是________．(填序号)①BM的长是定值；②点M的运动轨迹在某个圆周上；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④A1不在底面BCD上时，BM∥平面A1DE.答案①②④解析如图所示，取CD的中点F，连接MF，BF，AC，易得MF∥A1D，BF∥DE，∵MF⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，同理可得BF∥平面A1DE，又MF∩BF＝F，MF，BF⊂平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM⊂平面BMF，∴BM∥平面A1DE，故④正确；又∠BFM＝∠A1DE＝定值，MF＝12A1D＝定值，BF＝DE＝定值，在△MFB中，由余弦定理知，MB2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cos∠MFB，∴BM为定值，故①正确；∴点M的运动轨迹在以点B为圆心，BM为半径的圆周上，故②正确；∵A1C在平面ABCD内的射影在直线AC上，且AC与DE不垂直，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，故③错误．易错提醒注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．跟踪演练3(2022·聊城模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥B－ACD，则下列说法正确的是________．(填序号)①在翻折过程中，三棱锥B－ACD的体积最大为245；②在翻折过程中，三棱锥B－ACD的外接球的表面积为定值；③在翻折过程中，存在某个位置使得BC⊥AD；④在翻折过程中，存在某个位置使得BD⊥AC.答案①②解析由题意知，当平面BAC⊥平面ACD时，三棱锥B－ACD的体积最大，此时VB－ACD＝13×12×3×4×125＝245，故①正确；如图，取AC的中点E，连接BE，DE，则DE＝AE＝CE＝BE＝52，所以三棱锥B－ACD的外接球是以点E为球心，52为半径的球，则该三棱锥外接球的表面积S＝4π×522＝25π，故②正确；假设BC⊥AD