2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 第1讲　计数原理与概率

第1讲计数原理与概率[考情分析]1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有()A．14种B．11种C．8种D．5种答案B解析由题意得，以C路口为分类标准：C路口值勤分得人数情况有2种，两个人或一个人，若C路口值勤分得人数为2，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口值勤，此时有两种安排方法．若C路口值勤分得人数为1，丙或丁在C路口，具体情况如下．丙在C路口：A(丁)B(甲乙)C(丙)；A(甲丁)B(乙)C(丙)；A(乙丁)B(甲)C(丙)．丁在C路口：A(甲乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲乙)C(丁)；A(甲丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲丙)C(丁)；A(乙丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙丙)C(丁)．所以一共有2＋3＋6＝11(种)安排方法．(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()A．192B．240C．120D．288答案A解析由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到A22A55＝240(种)，当“立春”和“惊蛰”相邻，且“清明”与“惊蛰”也相邻时，有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起，即2A44＝48(种)，所以最终满足题意的排法为240－48＝192(种)．规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．跟踪演练1(1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有()A．144种B．336种C．672种D．1008种答案A解析选取的3个名称中含有祝融的共有C29种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况有A33种，其中祝融是第3个被分析的情况有A22种，故祝融不是第3个被分析的情况有C29(A33－A22)＝144(种)．(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为()A．12B．14C．16D．18答案B解析因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，则安排方法分两类：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有A22＝2(种)；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有C12＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有C23A22＝6(种)，则共有2×6＝12(种)．综上，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12＋2＝14.考点二二项式定理核心提炼1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求．2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．例2(1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x＋y)8展开式的通项Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝C68x2y6；令k＝5，得T5＋1＝C58x3y5，所以1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C68－C58＝－28.(2)已知x＋ax4n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a的值为________，展开式中的常数项为________．答案145解析因为x＋ax4n的展开式的所有项的二项式系数之和为2n，且奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以2n－1＝512，解得n＝10，所以展开式中第四项T4＝C310x7ax43，所以C310a3＝120，解得a＝1，所以x＋1x410的展开式的通项为Tk＋1＝Ck10x10－k1x4k＝Ck10x10－5k，令10－5k＝0，解得k＝2，所以展开式中的常数项为C210＝45.易错提醒二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ckn是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．跟踪演练2(1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6等于()A．－448B．－112C．112D．448答案C解析(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，a6＝C28×(－2)2＝112.(2)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则下列结论正确的是________．①展开式中各项系数和为1；②展开式中所有项的二项式系数和为22023；③a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2；④a0＋a12＋a222＋…＋a202322023＝0.答案②③④解析令x＝1得a0＋a1＋…＋a2023＝－1，∴①错误；二项式系数和为C02023＋C12023＋…＋C20232023＝22023，∴②正确；令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a2023＝－2，∴③正确；令x＝12有a0＋a12＋a222＋…＋a202322023＝0，∴④正确．考点三概率核心提炼1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的样本点数试验的样本点总数.2．几何概型概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3．条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)0，则P(B|A)＝PABPA.例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23答案D解析从7个整数中随机取2个不同的数，共有C27＝21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为1421＝23.(2)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是________．(填序号)①A1，A2，A3两两互斥；②P(B|A2)＝25；③P(B)＝12；④B与A1相互独立．答案①②解析A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，①正确；P(B|A2)＝PBA2PA2＝29×41029＝25，②正确；P(B)＝49×510＋29×410＋39×410＝49，③错误；又P(A1)＝49，P(A1B)＝49×510＝29，P(A1)P(B)＝49×49＝1681，∴P(A1B)≠P(A1)P(B)，∴A1与B不相互独立，④错误．规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型、几何概型、条件概率分别用各自的公式求解．(2)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．跟踪演练3(1)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为()A.13B.23C.12D.14答案A解析由题设，到O1，O2的距离都大于1的部分为圆柱体去掉以底面为最大轴截面的两个半球体，所以到O1，O2的距离都大于1的部分的体积为V＝2π×12－43π×13＝2π3，故点P到点O1，O2的距离都大于1的概率P＝2π32π＝13.(2)(2022·莆田模拟)从0,1,2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2,4,6”，记B为事件：“恰好抽取的是6,7,8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”．则下列说法正确的是()A．P(AB)＝P(A)P(B)B．P(C)＝110C．P(C)＝P(AB)D．P(A|C)＝P(B|C)答案D解析由题知，从10个数中随机地抽取3个数，共有C310＝120(种)可能情况，对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误；对于B选项，P(C)＝C29C310＝36120＝310，故B选项错误；对于C选项，P(AB)＝0，P(C)＝310，故C选项错误；对于D选项，由于P(AC)＝P(BC)＝1C29＝136，故由条件概率公式得P(A|C)＝P(B|C)，故D选项正确．专题强化练一、选择题1．(2022·福州质检)3x－1x6展开式中的常数项为()A．－540B．－15C．15D．135答案D解析二项式3x－1x6展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck6(3x)6－k·－1xk＝(－1)k·36－kCk6·362kx，k≤6，k∈N，由6－32k＝0，解得k＝4，则T5＝(－1)4×32×C46＝135，所以3x－1x6展开式中的常数项为135.2.(2022·玉林模拟)有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹．”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值．某地打造了以芍药为主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心、正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的(如图所示)．白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍．倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是()A．1－π4B.π4－12C.π2－1D.π4答案A解析由题意，设正方形的边长为2，可得以正方形的顶点为