专题3-2 解三角形最值范围与图形归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析

专题3-2解三角形最值、范围与图形归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................4【题型一】最值与范围1：角与对边...........................................................................................4【题型二】最值与范围2：角与邻边...........................................................................................6【题型三】范围与最值3：有角无边型.......................................................................................9【题型四】最值与范围4：边非对称型.....................................................................................11【题型五】最值：均值型..........................................................................................................12【题型七】图形1：内切圆与外接圆.........................................................................................13【题型八】图形2：“补角”三角形.........................................................................................17【题型九】图形3：四边形与多边形.........................................................................................19【题型十】三大线1：角平分线应用.........................................................................................22【题型十一】三大线2：中线应用............................................................................................24【题型十一】三大线3：高的应用............................................................................................25【题型十一】证明题.................................................................................................................27专题训练...................................................................................................................................28讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求b．【答案】(1)28(2)12【分析】（1）先表示出123,,SSS，再由12332SSS求得2222acb，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC，即可求解.【详解】（1）由题意得222212313333,,22444SaaSbSc，则22212333334442SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，又1sin3B，则2122cos133B，132cos4acB，则12sin28ABCSacB；（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB.2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc，即可得解.【详解】（1）证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．【答案】(1)π6；(2)425．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化成cossinABB，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB，π22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而π02B，所以π6B；（2）由（1）知，sincos0BC，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2CB，即有π22AB，所以30,,,424BC所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB．当且仅当22cos2B时取等号，所以222abc的最小值为425．4．（2021·全国·统考高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba，2ca.．（1）若2sin3sinCA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a.【分析】（1）由正弦定理可得出23ca，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA，则2223caa，则4a，故5b，6c，2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC，因此，1137157sin452284ABCSabC△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa，解得13a，则03a，由三角形三边关系可得12aaa，可得1a，aZ，故2a.5．（2021·北京·统考高考真题）在ABC中，2coscbB，23C．（1）求B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：2cb；条件②：ABC的周长为423；条件③：ABC的面积为334；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2coscbB，则由正弦定理可得sin2sincosCBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB，与2cb矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6abRR，22sin33cRR，则周长23423abcRR，解得2R，则2,23ac，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：222312231cos76；若选择③：由（1）可得6A，即ab，则211333sin2224ABCSabCa，解得3a，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb.题型全归纳【题型一】最值与范围1：角与对边【讲题型】例题1.已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为22,,,sinsinsinsinsinabcBCABC（1）求A；（2）已知23a，求三角形周长的取值范围.【答案】（1）π3A；（2）4363abc.【分析】(1)由正弦定理可得22bcabc，然后由余弦定理可得答案.(2)由余弦定理可得222abcbc，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答案.解（1）由22sinsinsinsinsinBCABC可得22bcabc即222bcabc，则2221cos222bcabcAbcbc，0π