专题5-1 均值不等式及其应用归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

专题5-1均值不等式及其应用归类目录讲高考........................................................................................................................1题型全归纳.................................................................................................................2【题型一】公式应用及限制条件.................................................................................2【题型二】构造“公式型”........................................................................................3【题型三】“1”的代换..............................................................................................4【题型四】“积”与“和”混合型..............................................................................4【题型五】构造分母代换型........................................................................................5【题型七】分离常数消去型........................................................................................5【题型八】消去型......................................................................................................6【题型九】多次均值...................................................................................................6【题型十】多元均值...................................................................................................7【题型十一】权方和不等式........................................................................................7【题型十二】万能“k”法..........................................................................................8【题型十三】整体换元...............................................................................................9【题型十四】均值应用：恒成立.................................................................................9练题训练.....................................................................................................................9讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．2y22xxD．4lnlnyxx3．（2021·全国·统考高考真题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．64．（陕西·高考真题）已知不等式19axyxy≥对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．85．（·天津·高考真题）已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是A．47[,2]16B．4739[,]1616C．[23,2]D．39[23,]16题型全归纳综述1．基本不等式：ab≤a＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2ab，常用于求和的最小值；②ab≤a＋b22，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)重要不等式链：a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（）A．44xxB．1ln2lnxxC．2ababD．222xx例题2.若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2abababB．2abababC．2abaabbD．2abaabb【讲技巧】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【练题型】1.下列不等式的证明过程正确的是（）A．若,abR，则22babaababB．若0x，则11cos2cos2coscosxxxxC．若0x则4424xxxxD．若,abR，且0ab，则22bababaababab2.给出下列条件：①0ab；②0ab；③0a，0b；④0a，0b.其中能使2abba成立的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x1，则121xx的最小值为（）A．222B．22C．222D．22例题2.）若关于x的不等式4142xax对任意2x恒成立，则正实数a的取值集合为A．（－1，4]B．（0，4）C．（0，4]D．（1，4]【练题型】1.设0xy，则41xxyxy的最小值为（）A．32B．23C．4D．31022.已知1ab且ba，则211ab的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知0x，0y，251xy，则1125xy的最小值是（）A．2B．8C．4D．6例题2.已知正实数x、y满足22xy，则12xy的取值可能为（）A．72B．113C．165D．214【练题型】1.若0x，0y，且131xy，则3xy的最小值为（）A．6B．12C．14D．162.已知0,0xy且141xy，若28xymm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．1|2xxB．|3xx}C．|1xxD．|91xx【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知0a，0b，且满足2abab，则ab的最小值为（）A．2B．3C．322D．322例题2.若正实数,xy满足412xyxy，则xy的最小值为（）A．4B．6C．18D．36【讲技巧】1.形如()mxnypxy（无常数）求mxny型，p1mmpxymxnyxx然后“”的代换2.形如()mxnypxyt求mxny型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：2()()()()()()()()2ppmxnytmxnypxymxnymxnymxnymnmn【练题型】1.若,0ab，且1131abab，则ab的取值范围（）A．3abB．06abC．03abD．6ab2.已知a，b是正实数，32abab，则2ab的最小值是（）A．83B．723C．523D．743【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数x，y满足1xy，且不等式241312mmxy有解，则实数m的取值范围是（）A．3m或32mB．332mC．3m或32mD．332m例题2.若正数a，b满足7ab，则1911ab的最小值是（）A．1B．169C．6D．25【练题型】1.若0x，0y，且47xy，则111xy的最小值为（）A．2B．98C．94D．322.已知实数x，y满足20xy，且2xy，则4142xyxy的最小值为（）A．15B．52C．1D．94【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知102x，则11212xxx的最小值是（）A．5B．6C．7D．8例题2.已知0a，0b，21ab，则21baab的最小值为（）A．410B．4210C．610D．6210【练题型】1.已知,ab为正实数且2ab，则2bab的最小值为（）A．32B．21C．52D．32.已知ab，则1bababa的最小值为（）A．3B．2C．4D．1【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点(,)Pxy在椭圆222133xy上运动，则22121xy最小值是__________．例题2.已知0,0xy，且2320xxy，则2xy的最小值是（）A.2103B.23C.223D.103【练题型】1.已知1m＞，0n＞，且223mnm，则214mmn的最小值为（）A．94B．92C．32D．22.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则14299ab的最小值为（）A．49B．81545C．1327D．133751623.已知正数x，y满足2210xxy，则2234xy的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知0,0ab，则122abab的最小值是（）A．2B．22C．42D．6例题2.已知0a，0b，且115abab，则ab的取值范围是（）A．14abB．2abC．14abD．4ab【练题型】1.设0ab，则21abab的最小值是（）A．1B．2C．3D．42.若a，b，c均为正实数，则2222abbcabc的最大值为（）A．12B．14C．22D．32【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当zxy取得最小值时，2xyz的最大值为（）A．0B．98C．2D．94例题2.已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则1yzxyz