专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版

专题6-1数列函数性质与不等式放缩目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】数列单调性与不等式放缩..........................................................................................2【题型二】利用导数研究数列“性质”......................................................................................3【题型三】数列函数性质：“周期性”......................................................................................3【题型四】构造等差数列型放缩.................................................................................................4【题型五】构造等比数列型放缩.................................................................................................5【题型六】裂项放缩型................................................................................................................6【题型七】无理根式、对勾等放缩..............................................................................................6【题型八】数列中的蛛网不等式.................................................................................................7【题型九】数学归纳法................................................................................................................8专题训练.....................................................................................................................................8讲高考1．（2021·全国·统考高考真题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（全国·高考真题）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2nnca，cn＋1＝2nnba，则A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列3．（浙江·高考真题）已知1234,,,aaaa成等比数列，且1234123ln()aaaaaaa．若11a，则A．1324,aaaaB．1324,aaaaC．1324,aaaaD．1324,aaaa4．（2020·全国·统考高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai，且存在正整数m，使得(1,2,)imiaai成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)imiaai的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk的序列是（）A．11010B．11011C．10001D．110015.（2019·浙江·高考真题）设,abR，数列na中，211,nnaaaab，Nn,则A．当101,102baB．当101,104baC．当102,10baD．当104,10ba6．（2022·北京·统考高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．7．（全国·高考真题）设等比数列na满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为___________．题型全归纳【题型一】数列单调性与不等式放缩【讲题型】例题1.已知数列na满足11a，且12nnTaaa，若*12,1nnnnaTTnNa，则（）A．5011,1211aB．5011,1110aC．1011,87aD．1011,65a例题2.已知数列na满足120aa，若2121nnnnaaaa，则“数列na为无穷数列”是“数列na单调”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【讲技巧】数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处。可以从数列递推公式中提炼出对应函数式，利用函数或者导数性质求其单调性【练题型】1.设数列na的前n项和为1,1nSa，且*121NnnSan.若对任意的正整数n，都有12132131nnnnnababababn成立，则满足等式123nnbbbba的所有正整数n为（）A．1或3B．2或3C．1或4D．2或42.数列na满足1aa，2131nnnaaa，则下列说法正确的是（）A．若1a，则数列na单调递减B．若存在无数个自然数n，使得1nnaa，则=1aC．当1a时，na的最小值不存在D．当=3a时，1211112222naaaL恒成立【题型二】利用导数研究数列“性质”【讲题型】例题1..设,abR，数列na满足1aa，*1lnnnaabnN，则（）A．若2b，则2020aaB．若2b，则2020aaC．若2b，则2020aaD．若2b，则2020aa例题2.已知各项均为正数的数列na满足11a，1*111nnnnnaanNa，则数列na（）A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项【讲技巧】需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系。【练题型】1.已知数列na满足1221nnnaaa，满足10,1a，1220212020aaa，则下列成立的是（）A．120211lnln2020aaB．120211lnln2020aaC．120211lnln2020aaD．以上均有可能2..对于数列nx，若存在正数M，使得对一切正整数n，恒有nxM，则称数列nx有界；若这样的正数M不存在，则称数列nx无界，已知数列na满足：11a，1ln10nnaa，记数列na的前n项和为nS，数列2na的前n项和为nT，则下列结论正确的是（）A．当1时，数列nS有界B．当1时，数列nT有界C．当2时，数列nS有界D．当2时，数列nT有界【题型三】数列函数性质：“周期性”【讲题型】例题1.已知数列na满足21kkaad（d为常数，1,2kn，*Nn，3n），给出下列四个结论：①若数列na是周期数列，则周期必为2：②若0d，则数列na必是常数列：③若0d，则数列na是递增数列：④若0d，则数列na是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________.例题2.．若数列na满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有nTnaa成立，则称数列na为周期数列，周期为T.已知数列na满足10amm，11,11,01nnnnnaaaaa，则下列结论中错误的是（）A．若34a，则m可以取3个不同的值；B．若2m，则数列na是周期为3的数列；C．对于任意的*TN且T≥2，存在1m，使得na是周期为T的数列D．存在mQ且2m，使得数列na是周期数列【讲技巧】函数常见周期性：①若f(x＋a)＝f(x－b)⇔f(x)周期为T＝a＋b.②若fxafxb，则ab是yfx的一个周期常见的周期函数有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f（x）或f(x＋a)＝－1f（x），那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.【练题型】1.已知函数,fxgx的定义域均为R，且满足24,46,310,fxgxgxfxgxgx则601()nfn（）A．3180B．795C．1590D．15902.已知数列na满足：当0na时，2112nnnaaa；当0na时，10na；对于任意实数1a，则集合0,1,2,3,nnan的元素个数为（）A．0个B．有限个C．无数个D．不能确定，与1a的取值有关【题型四】构造等差数列型放缩【讲题型】例题1..设nS是数列na的前n项和，1332nnnSa，若不等式22nnnak对任意Nn恒成立，则k的最小值为（）A．13B．16C．19D．136例题2.已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS为其前n项和，且满足2*21NnnaSn.若不等式11(1)8(1)nnnnna„对任意的*nN恒成立，则实数的取值范围是（）A．77,153B．77,03C．0,15D．7715,3【讲技巧】数列不等式恒成立问题，可以利用等差数列的性质求得通项公式，然后再进行放缩或者分参等求参【练题型】1.已知首项为1的数列na的前n项和为nS，若2121nnnnnSSSSS，且数列1a，2a，…，(3)kak成各项均不相等的等差数列，则k的最大值为__________．2.设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，且12412124168aaS，，，则29ad的取值范围是_________.【题型五】构造等比数列型放缩【讲题型】例题1..已知数列na为正项等比数列，且mnpq，则“mnpqaaaa