专题6-2 数列大题综合18种题型（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

专题6-2数列大题综合18种题型目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】恒成立求参................................................................................................................2【题型二】数列“存在型”求参.................................................................................................3【题型三】“存在型”证明题.....................................................................................................3【题型四】数列“存在型不定方程型..........................................................................................3【题型五】双数列相同项“存在型”..........................................................................................4【题型六】新数列与“子数列”型..............................................................................................4【题型七】“下标”数列型........................................................................................................5【题型八】指数型常规裂项求和.................................................................................................5【题型九】“指数等差型”裂项求和..........................................................................................5【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和...................................................................................6【题型十一】“正负裂和”型裂项求和......................................................................................7【题型十二】“分离常数型”裂项求和......................................................................................7【题型十三】先放缩再裂项求和.................................................................................................8【题型十四】前n项积型............................................................................................................8【题型十五】解数列不等式........................................................................................................8【题型十六】证明数列不等式.....................................................................................................9【题型十七】求和：范围最值型.................................................................................................9【题型十八】“隐和型”..........................................................................................................10专题训练...................................................................................................................................10讲高考1．（·湖南·高考真题）数列na满足22122π0,2,1cos4sin,1,2,3,22nnnnaaaan．(1)求34,aa，并求数列na的通项公式；(2)设13212422,,2kkkkkkkSSaaaTaaaWkTN，求使1kW的所有k的值，并说明理由．2．（2022·天津·统考高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab．(1)求na与nb的通项公式；(2)设na的前n项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbSb；(3)求211(1)nkkkkkaab．3．（2022·全国·统考高考真题）已知na为等差数列，nb是公比为2的等比数列，且223344ababba．(1)证明：11ab；(2)求集合1,1500kmkbaam中元素个数．4．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．5．（2021·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．题型全归纳【题型一】恒成立求参【讲题型】例题1.已知正项数列{}na的前n项和为nS，且12nnaS.(1)求{}na的通项公式;(2)数列14nnnSaa的前n项和为nT，且112nnnnnTaS对任意的*Nn恒成立，求实数的取值范围.（参考数据:1321.26）【讲技巧】一般情况下数列恒成立，通过分参等，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。【练题型】已知数列{}na中，111,31nnaaa.(1)求证：12na是等比数列，并求{}na的通项公式；(2)数列{}nb满足1312nnnnnba，数列{}nb的前n项和为nT，若不等式(8)42252nTnn成立的自然数n恰有4个，求正整数的值.【题型二】数列“存在型”求参【讲题型】例题1.设正项数列{}na的前n项和为nS，首项为1，已知对任意整数,mn，当nm时，mnmnmSSqS（q为正常数）恒成立．(1)求证：数列{}na是等比数列；(2)证明：数列1{}nnSS是递增数列；(3)是否存在正常数c，使得{lg()}ncS为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【练题型】已知nS是数列na的前n项和，且11a，数列nnSa是公差为12的等差数列．(1)求数列na的通项公式;(2)记数列2nna的前n项和为nT，是否存在实数t使得数列2nnTt成等差数列，若存在，求出实数t的值;若不存在，说明理由．【题型三】“存在型”证明题【讲题型】例题1.已知正项数列na，其前n项和nS，满足12NnnnSana.(1)求证：数列2nS是等差数列，并求出na的表达式；(2)数列na中是否存在连续三项12,,kkkaaa，使得12111,,Nkkkkaaa构成等差数列？请说明理由.【讲技巧】数列这类“存在某些项等”证明型题，对于运算，特别是含字母的运算要求较高。在二轮复习训练时，要注意对计算方面的拆解分析【练题型】在数列na中，已知10a，26a，且对于任意正整数n都有2156nnnaaa.(1)令12nnnbaa，求数列nb的通项公式；(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使13nnama成立.【题型四】数列“存在型不定方程型【讲题型】例题1.设公比为正数的等比数列na的前n项和为nS，已知38a，248S，数列nb满足24lognnba.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)是否存在*Nm，使得12mmmbbb是数列nb中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【讲技巧】涉及到“存在型不定方程”，可以从分类讨论方面入手，可以从奇偶数方面分析，可以从约数整除方面讨论。【练题型】已知数列na满足121232nnnaaaa.(1)证明：na是等比数列.(2)判断223*8mmN是否可能是数列na中的项.若是，求出m的最大值；若不是，请说明理由.【题型五】双数列相同项“存在型”【讲题型】例题1.已知na是等差数列，nb是公比不为1的等比数列，1122532,,ababab.(1)求数列,nnab的通项公式；(2)若集合*,,NmmkMbbamk∣，且1100k，求M中所有元素之和.【讲技巧】双数列相同项，一般情况下，也是解“不定方程”【练题型】已知数列na的通项公式为21nan，等比数列nb满足211ba，321ba．(1)求数列nb的通项公式；(2)记na，nb的前n项和分别为nS，nT，求满足nmTS（410n）的所有数对,nm．【题型六】新数列与“子数列”型【讲题型】例题1.已知数列na，nb其前n项和分别为nS，nT且分别满足23122nSnn，31N22nnTbn.(1)求数列na，nb的通项公式.(2)将数列na，nb的各项按1a，1b，2a，2b…na，nb顺序排列组成数列nc，求数列nc的前n项和nM.【练题型】已知等差数列na和等比数列nb满足3121,8,lognnabab，*nN．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)设数列na中不在数列nb中的项按从小到大的顺序构成数列nc，记数列nc的前n项和为nS，