专题7-1 立体几何压轴小题：截面与球（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷

专题7-1立体几何压轴小题；截面与球目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】截面最值...................................................................................................................2【题型二】球截面.......................................................................................................................3【题型三】截面综合难题............................................................................................................4【题型四】线面垂直型求外接球.................................................................................................5【题型五】特殊三角形定球心型.................................................................................................6【题型六】定义法列方程计算型求球心......................................................................................6【题型七】内切球.......................................................................................................................7【题型八】棱切球型最值............................................................................................................8【题型九】内切球与外切球一体综合..........................................................................................9【题型十】球综合.......................................................................................................................9专题训练...................................................................................................................................10讲高考1．江西·高考真题）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别为1S，2S，则必有（）A．12SSB．12SSC．12SS=D．12SS、的大小不能确定2．（2022·全国·统考高考真题）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD3．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]5．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3B．4C．9D．126．（2020·全国·统考高考真题）已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π题型全归纳【题型一】截面最值【讲题型】例题1..正方体1111ABCDABCD为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，1CC上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BPx，CQy，其中x，0,2y，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①当0x时，S为矩形，其面积最大为4；②当1xy时，S的面积为92；③当1x，1,2y时，设S与棱11CD的交点为R，则144RDy；④当2y时，以1B为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．【讲技巧】求截面方法：1.平行线法：（1）利用两条平行线确定一个平面，（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行2.相交线法：（1）两条相交直线确定一个平面（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内【练题型】1.如图，长方体1111ABCDABCD中，AB=BC=4，13AA，M是线段11DC的中点，点N在线段11BC上，MN∥BD，则长方体1111ABCDABCD被平面AMN所截得的截面面积为___________.2.如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点,MN分别在1111,ABDC上，且111AMDN.过点,MN的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A．187B．302C．661D．363【题型二】球截面【讲题型】例题1.在三棱锥A－BCD中，22ABBCCDDA，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），2BECF．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（）A．πB．3πC．3π2D．2π【讲技巧】用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。【练题型】1.已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.2.在正四棱锥PABCD中，已知4PAAB，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一半径为433的球，则平面PAB截该球的截面面积为________．【题型三】截面综合难题【讲题型】例题1.如图，在四棱锥QEFGH中，底面是边长为22的正方形，4QEQFQGQH，M为QG的中点.过EM作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V，2V，则12VV的最小值为（）A．12B．13C．14D．15【练题型】1.在三棱锥PABC中，顶点P在底面的射影为ABC的垂心O（O在ABC内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为1，2，若PAMPBM，则下列说法错误的是（）A．若12，则ACBCB．若12，则121tantan2C．可能值为6D．当取值最大时，122.如图，DE是边长为6的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿直线DE翻折至△1ADE，当三棱锥1ACED的体积最大时，四棱锥1ABCDE外接球O的表面积为______；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是______.【题型四】线面垂直型求外接球【讲题型】例题1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，2SA，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（）A．332B．33C．932D．63【讲技巧】线面垂直型：存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）1.模板图形原理图1图22.计算公式22+rr=2sinPCCDRA；其中2【练题型】1.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，2SA，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（）A．332B．33C．932D．632.已知,,,ABCD四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且ABAC，ABAC，ADBC，若四面体ABCD的体积的最大值为16，则球O的表面积为（）A．32B．2C．94D．83【题型五】特殊三角形定球心型【讲题型】例题1.已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且3SD，则三棱锥SABC的外接球半径为（）A．3B．33C．15D．153【讲技巧】当几何体表面图形为特殊图形时，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该垂线必过球心【练题型】1.在三棱锥ABCD中，60BACBDC，二面角ABCD的余弦值为13，当三棱锥ABCD的体积的最大值为64时，其外接球的表面积为A．5B．6C．7D．82..在三棱锥PABC中，2,23,1PAPBACBCABPC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A．43B．4C．12D．523【题型六】定义法列方程计算型求球心【讲题型】例题1.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为2,2,1A，2,1,2B，0,2,1C，0,0,1D.则该四面体外接球的表面积是___________.【讲技巧】利用球的定义：球面上一点到球心的距离相等，是球的半径。可以列方程计算求解。在列方程时，尽量和线面垂直型求法配合使用【练题型】1.如图所示几何体ABCDEF，底面ABCD为矩形，4AB，2BC，△ADE与△BCF是等边三角形，EFAB∥，2ABEF，则该几何体的外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．22πD．24π2.直角ABC中，2AB，1BC，D是斜边AC上的一动点，沿BD将ABD△翻折到ABD，使二面角ABDC为直二面角，当线段AC的长度最小时，四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．134B．143C．133D．125【题型七】内切球【讲题型】例题1.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体