专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积（讲+练）（解析版）

专题7-2立体几何压轴小题：角度与动点、体积目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................7【题型一】角度1：线线角.........................................................................................................7【题型二】角度2：线面角.......................................................................................................10【题型三】角度3：二面角.......................................................................................................14【题型四】角度综合.................................................................................................................17【题型五】体积1：体积比.......................................................................................................21【题型六】体积2：不规则.......................................................................................................24【题型七】体积3：最值型.......................................................................................................28【题型八】体积4：翻折“包装”型.........................................................................................30【题型九】体积5：祖暅定理型................................................................................................33【题型十】立体几何中的轨迹...................................................................................................36专题训练...................................................................................................................................39讲高考1．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，2,4,60ABBCABC，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A．3arcsin6B．3arccos6C．3arcsin3D．3arccos3【答案】D【分析】先求球的半径，确定小圆中ABC的特征，作出直线OA与截面ABC所成的角，然后解三角形求出直线OA与截面ABC所成的角，即可得解．【详解】解：表面积为48的球面，设球的半径是R，则2484R，解得23R，因为2AB，4BC，60ABC，由余弦定理可得222c14162241222osACABCCABBABBC，所以23AC，所以222ACABBC，所以90BAC，BC为小圆的直径，则平面OBC平面ABC，设D为小圆的圆心，平面OBC平面ABCBC，ODBC，OD平面OBC，所以OD平面ABC，所以OAD就是直线OA与截面ABC所成的角，又22(23)222OD，2AD，所以23cos323OAD，所以直线OA与截面ABC所成的角为3arccos3.故选：D．2．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104【答案】C【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得122rr，再结合圆心角之和可将12,rr分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSrlr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rlrl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212293hlll，所以22112222145393101122393rhllVVrhll甲乙.故选：C.3．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．22【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22r，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则2111sin222222ABCDSACBDACBDrrr（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22r又设四棱锥的高为h，则22rh1，3222222212224322333327OABCDrrhVrhrrh当且仅当222rh即33h时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则22ra，所以该四棱锥的高212ah，3222222223114441434421(1)()323442333327aaaaaaaVa(当且仅当22142aa，即243a时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高22311233ah.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则22ra，所以该四棱锥的高212ah，221132aVa，令2(02)att，32132tVt，设322ttft，则2322tftt，403t，0ft，单调递增，423t，0ft，单调递减，所以当43t时，V最大，此时23123ah．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．8118,4B．2781,44C．2764,43D．[18,27]【答案】C【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以3221224211646122(333333hhhVahhhhhhh„当且仅当4h取到)，当32h时，得332a，则22min1133327();33242Vah当33l时，球心在正四棱锥高线上，此时39322h，23333222aa，正四棱锥体积221113398164()332432Vah，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].435．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为3,120CHBHCHB，所以333,22CMBMHM，因为重叠后的底面为正方形，所以33ABBC,在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM,由ABBCB可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为,I则132713813333,=3333=322224IBCDAAFDBHCVV则该几何体的体积为8127222742AFDBHCIBCDAVVV.故选：D.6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱1111,ABCABCACAA，E，F分别是棱11,BCAC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先用几何法表示出，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F作FPAC于P，过P作PMBC于M，连接PE，则EFP，FEP，FMP，tan1PEPEFPAB，tan1FPABPEPE，tantanFPFPPMPE，所以，故选：A．7．（2022·全国