专题12 计数原理（理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题12计数原理一、单选题1．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224种不同的排列方式，故选：B2．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)xaxaxaxaxa，则024aaa（）A．40B．41C．40D．41【答案】B【分析】利用赋值法可求024aaa的值.【详解】令1x，则432101aaaaa，令1x，则443210381aaaaa，故420181412aaa，故选：B.3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知25CCnn，设201223111nnnxaaxaxax，则012naaaa（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【分析】根据组合数的性质得到7n，再利用赋值法求值即可.【详解】因为25CCnn，所以由组合数的性质得7n，所以727012723111xaaxaxax，令2x，得77012223aaaa，即01721aaaa.故选：C4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A．9B．8C．6D．5【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理即可求得【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为236条．故选：C．5．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）二项式5*32nxxnxN的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，再根据,nr的取值范围可求得结果【详解】二项式5*32nxxnxN的展开式为15552132C()(2)CrnrrnrrrrnnxTxxx，令1550,0,1,2,,2nrrn，*Nn，则32nr，因为*Nn所以当2r时，n取得最小值3，故选：B6．（2022·广东广州·高三开学考试）239111xxx的展开式中2x的系数是（）A．45B．84C．120D．210【答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含2x项的系数．【详解】解：239(1)(1)(1)xxx的展开式中，含2x项的系数为22223234910CCCCC120，故选：C．7．（2021·河南·高三开学考试（理））62(1)xxx的展开式中4x的系数为（）A．60B．60C．12D．12【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式62162CrrrrTx，令624r，或623r，即可求得答案.【详解】因为62xx的展开式的通项：662166,0,1,2,,2C(6)2CrrrrrrrTxxrxL，令624r，或623r，解得1r，32r（舍去），所以62(1)xxx的展开式中4x的系数为1162C12,故选：D8．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设集合{,,}Aabc，其中,,abc为自然数且100abc，则符合条件的集合A的个数为（）A．833B．884C．5050D．5151【答案】A【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有10110251512种结果，因为100abc，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，所以a、b、c三个数各不相等的结果共有51513514998个因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为49986833个.故选：A9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数0133551111CCCCCC35kknnnnnnnnfxxxxxxkn（k，n为正奇数），fx是fx的导函数，则10ff（）A．2nB．12nC．21nD．121n【答案】D【分析】依题意求出0f，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出1f，即可得解；【详解】解：因为0133551111CCCCCC35kknnnnnnnnfxxxxxxkn，所以001Cnf，所以2135114CCCCCkknnnnnnnfxxxxx，则1351CCCCCknnnnnnf，其中1135CCC2CCknnnnnnn，所以121nf，所以11021nff；故选：D10．（2022·全国·高三专题练习（文））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当*nN时，sinxx222222222111149xxxxn，又根据泰勒展开式可以得到35sin3!5!xxxx121121!nnxn，根据以上两式可求得22221111123n（）A．26B．23C．28D．24【答案】A【分析】由121351sin3!5!21!nnxxxxxn同时除以x，再利用展开式中2x的系数可求出.【详解】由121351sin3!5!21!nnxxxxxn，两边同时除以x，得122241sin13!5!21!nnxxxxxn，又222222222sin111149xxxxxxn展开式中2x的系数为2222211111123n，所以222221111111233!n，所以2222211111236n．故选：A．11．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）设集合1,2,,2022A，集合S是集合A的非空子集，S中最大元素和最小元素的差称为集合S的长度，那么集合S所有长度为73的子集的元素个数之和为（）A．722381949B．7421949C．732371949D．702761949【答案】A【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为74的情况：1,74只有一种情况；1,,74a，273a且Za，共有172C种情况；1,,,74bc，2,73bc且,Zbc，共有272C种情况；以此类推1,2,3,73,74，有7272C种情况，所以此类满足要求的子集元素个数之和012717272727272722C3C4C73C74CM，计算可得：72382M，再考虑可以分为1,,74，2,,75，3,,76，，1949,,2022等1949类，可得本题答案【详解】当最小元素为1，最大元素为74时，集合有如下情况：集合中只含2个元素；1,74，只有1种情况；集合中含有3个元素；1,,74a，273a且Za，共有172C种情况；集合中含有4个元素；1,,,74bc，2,73bc且,Zbc，共有272C种情况；以此类推集合中含有74个元素；1,2,,73,74，有有7272C种情况；所以此类满足要求的子集元素个数之和：012717272727272722C3C4C73C74CM①7271107272727274C73C3C2CM②727272CCrr，072,Zrr②两式相加可得：0171727272727272276(CCCC)762M72382M同理可得：2,,75，3,,76，，1949,,2022，所有子集元素个数之和都是72382集合S所有长度为73的子集的元素个数之和为722381949.故选：A12．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160B．20220C．20280D．20340【答案】A【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案.【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有314312CC种可能；若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有224212CA种可能；小计：1+12+12=25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有233C种可能；若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有22326CA种可能；若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+22133210CCC种可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：1403610076C；（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有11224CC种可能；若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能.小计24954C