考点01 导数计算与求切线（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点01导数计算与求切线1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数fx的导函数为fx，且满足32121fxxxfx，则2f（）A．1B．9C．6D．4【答案】C【分析】先对()fx进行求导，然后把1x代入()fx，可列出关于1f的等式，即可解出1f，从而得出()fx的解析式，即可求出2f.【详解】解：因为32121fxxxfx，所以23212fxxxf，把1x代入()fx，得2213121ff，解得：15f，所以23102fxxx，所以26f.故选：C.2．（2022·河北·模拟预测）曲线esinxyx在0x处的切线斜率为（）A．0B．1C．2D．2【答案】B【分析】即求曲线在(0,f(0))处的导数.【详解】esinecosxxyxx，0|1xky.故选：B.3．（2022·广西·南宁三中二模（文））已知31fxxx在1x处的切线与直线l垂直，若直线l与x，y正半轴围成的三角形面积为2，则直线l的方程为（）．A．440xyB．440xyC．440xyD．440xy【答案】D【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，从而知道直线l的斜率，再根据直线l与x，y正半轴围成的三角形面积，建立方程可求解.【详解】由2213fxxx，故14f，故直线l的斜率为14，令1:04lyxmm，由题意知1422mm，解得1m，故440xy.故选:D．4（2020·全国·高考真题（文））设函数e()xfxxa．若(1)4ef，则a=_________．【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：221xxxexaeexafxxaxa，则：12211111eaaefaa，据此可得：241aeea，整理可得：2210aa，解得：1a.故答案为：1.5．（2022·全国·高三专题练习）若函数21ln2fxxaxx存在平行于x轴的切线，则实数a取值范围是______.【答案】2,【分析】求出导函数，只需0fx有正解，分离参数可得1axx，利用基本不等式即可求解.【详解】函数定义域为0,，导函数为1fxxax，使得存在垂直于y轴的切线，即0fx有正解，可得1axx有解，因为0x，所以12axx，当且仅当“1xx，即1x”时等号成立，所以实数a的取值范围是2,故答案为：2,6.已知21()sin()42fxxx，()fx为f（x）的导函数，则()fx的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，令gxfx，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据6g的符号可排除C，即可得解.【详解】解：2211()sin()cos424fxxxxx，则1sin2fxxx，令1sin2gxfxxx，1sin2gxxxgx，所以函数gx为奇函数，故排除AD，又106122g，故排除C.故选：B.7．曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A．6B．4C．3D．2【答案】B【详解】'()ln1fxx；所以(1)ln111'f，所以曲线在点(1,(1))f处的切线的斜率是1，设曲线在点(1,(1))f处的切线的倾斜角是，则tan1，因为[0,)，所以4，故选B.8．（2020·全国·高三课时练习（理））若曲线cosfxax与曲线21gxxbx在交点0,m处有公切线，则abA．1B．0C．2D．1【答案】D【详解】分析：由曲线()cosfxax与曲线2()1gxxbx在交点(0,)m出有公切线，根据斜率相等，求解0b，根据点(0,)m在曲线gx上，求得1m，进而求得a的值，即可求解．详解：由曲线()cosfxax，得()sinfxax，则(0)sin00fa，由曲线2()1gxxbx，得()2gxxb，则(0)gb，因为曲线()cosfxax与曲线2()1gxxbx在交点(0,)m出有公切线，所以(0)(0)fg，解得0b，又由(0)1g，即交点为(0,1)，将(0,1)代入曲线()cosfxax，得cos01aa，所以1ab，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点(0,)m处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0xy平移到与曲线4yxx相切位置时，切点Q即为点P到直线0xy的距离最小.由2411yx，得2(2)x舍，32y，即切点(2,32)Q，则切点Q到直线0xy的距离为22232411，故答案为4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.10．（2022·全国·高三专题练习）已知222cos22cossinfxxfxxxxx，且0x，52f，那么f___________.【答案】2【分析】在题中等式两边同乘x可得222sin2xfxxxxc，可得出2sin21cfxxx，由52f可求得c的值，进而可求得f的值.【详解】因为2222cos22cossisn2cos22in2fxxfxxxxxxxx，所以，222222cos22sin22sin2xfxxfxxxxxxxxxc，即222sin2xfxxxxc，所以，222sin2xfxxxxc，因为0x，则2sin21cfxxx，所以，21524cf，解得2c，所以，22sin21fxxx，因此，2f.故答案为：2.11.（2021·全国·高考真题）若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye的图象，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye上任取一点,tPte，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttyexte，由题意可知，点,ab在直线1ttyexte上，可得11tttbaeteate，令1tftate，则tftate.当ta时，0ft，此时函数ft单调递增，当ta时，0ft，此时函数ft单调递减，所以，maxaftfae，由题意可知，直线yb与曲线yft的图象有两个交点，则maxabfte，当1ta时，0ft，当1ta时，0ft，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.12.．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数21fxx与2ln1gxax的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（）A．e2B．eC．eD．2e【答案】B【分析】分别设公切线与21fxx和:()2ln1Cgxax的切点211,1xx，22,2ln1xax，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222lnaxxx，再求导分析22()22ln(0)hxxxxx的最大值即可【详解】2fxx，2agxx，设公切线与21fxx的图象切于点211,1xx，与曲线:()2ln1Cgxax切于点22,2ln1xax，∴2221211221212ln1122ln2axxaaxxxxxxxx，故12axx，所以212211212ln2xxxxxxx，∴122222lnxxxx，∵12axx，故2222222lnaxxx，设22()22ln(0)hxxxxx，则()2(12ln)hxxx，∴hx在(0,e)上递增，在(e,)上递减，∴max()(e)ehxh，∴实数a的最大值为e故选：B.13．（2022·山西太原·二模（理））已知函数sincosfxaxbxcx图象上存在两条互相垂直的切线，且221ab，则abc的最大值为（）A．23B．22C．3D．2【答案】D【分析】根据已知条件用换元法令sin,cosab，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出c，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.【详解】由221ab，令sin,cosab，由sincosfxaxbxcx，得cossinsincoscossinfxaxbxcxxcsinxc，所以11cfxc由题意可知，存在12,xx，使得12()()1fxfx，只需要21111ccc，即211c，所以20c，0c=，πsincos2sin24abcab所以abc的最大值为2.故选:D.【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出c，再利用三角函数的性质即可求解.14．（2022·河南安阳·模拟预测（理））若过点(,0),(0,)ab分别只可以作曲线exyx的一条切线，则ab的取值范围为_________．【答案】0,【分析】设出切点坐标，求导表示出切线方程，代入点求得21120xaxa和2222exxbx，由方程只有1根，解出,ab的范围，即可求得ab的取值范围.【详解】易得0x，2e1xxyx，设过点(,0)a的切线与曲线exyx切于点111e,xxx，则切线方程为1111211e1exxxyxxxx，代入点(,0)a得1111211e1exxxaxxx，整理得21120xaxa，则222440aaa，则方程必有两根，要使切线只有一条，则必有一根为0（舍去），此时0a，12x；设过点(0,)b的切线与曲线exyx切于点222e,xxx