考点03 函数与方程（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点03函数与方程1．（2022·河南·模拟预测）关于x的一元二次方程250xxm有实数根，则m的值可以是（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【分析】利用判别式直接判断.【详解】要使关于x的一元二次方程250xxm有实数根，只需2540m，解得：254m.对照四个选项，只有A符合题意.故选：A2．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()24xfxx，()e4xgxx，()ln4hxxx的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．cbaC．bacD．cab【答案】C【分析】将()fx，()gx，()hx的零点看成函数4yx分别与2xy，exy，lnyx的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得()fx的零点可以看成2xy与4yx的交点的横坐标，()gx的零点可以看成exy与4yx的交点的横坐标，()hx的零点可以看成lnyx与4yx的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2xy，exy，lnyx，4yx的函数图象，如下图所示,可知cab，故选：C.3.（2021·浙江·高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxfxxax若63ff，则a___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】6642233ffffa，故2a，故答案为：2.4．（2022·全国·模拟预测）若幂函数25ayaax的图像关于y轴对称，则实数a______．【答案】2【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得251aa，解得3a或2a，又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以2a．故答案为：25．已知函数3,0()1,0xxxfxxaxx有4个不同的零点，则实数a的取值范围为_______．【答案】2,【分析】当0x时，即()fx恒有1个零点；当0x时，得到相切时a的值，即可求解．【详解】解：令1(),()3,(),()xgxxhxmxxanxx，当0x时，(),()3xgxxhx恒有1个交点，即()fx恒有1个零点．如图所示，当0x时，且()mxxa的左半支与1()nxx相切时，此时只有2个交点，且(2)0m，解得2a，故当2a时，两个函数才恒有3个交点，即函数()fx有3个不同的零点．综上所述，当2a时，函数()fx有4个不同的零点．故答案为2,【点睛】本题考查零点个数问题，通常转化为函数的交点个数问题，属于基础题．6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数222eexxfxxa有唯一零点，则实数a（）A．1B．1C．2D．2【答案】D【分析】设()(2)eexxgxfxxa，由函数奇偶性定义得到()gx为偶函数，所以函数()fx的图象关于直线2x对称，由零点唯一性得到(2)0f，求出a的值.【详解】设()(2)eexxgxfxxa，定义域为R,∴()eeee()xxxxgxxaxagx，故函数()gx为偶函数，则函数(2)fx的图象关于y轴对称，故函数()fx的图象关于直线2x对称，∵()fx有唯一零点，∴(2)0f，即2a．故选：D．7．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数2311,0()2,0xxfxxxx，若函数()1yfxkx有m个零点，函数1()1yfxxk有n个零点，且7mn，则非零实数k的取值范围是（）A．10,3B．[3,)C．10,[3,)3D．1,1(1,3]3【答案】C【分析】作出()fx的函数图像，利用图像列出关于k的不等式，解出k的范围即可【详解】fx与1ykx与11yxk共交7个点fx图象如下：所以：（Ⅰ）0313kk，解得103k（Ⅱ）1033kk，解得3k综上：10,[3,)3k．故选：C8．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数2,0,2,0,xfxxxx„则方程20xfx的解的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】函数2xfx零点的个数即函数fx与函数2xy的交点个数，结合图像分析．【详解】令20xfx，得2xfx，则函数2xfx零点的个数即函数fx与函数2xy的交点个数．作出函数fx与函数2xy的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程20xfx的解的个数为2个．故选：C．9.（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：ln,01()2(1),1xxxfxfxx，若方程12fxkx在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.【答案】11ln2,2【分析】由题意知直线12ykx与函数yfx的图像有三个交点，利用导数研究函数()fx的性质，结合数形结合的数学思想即可求出k的取值范围.【详解】方程12fxkx在（0，2]上恰有三个根，即直线12ykx与函数yfx的图像有三个交点，当01x时，lnfxxx，则()ln1fxx，当10ex时，()0fx；当11ex时，0fx，所以f（x）在（0，1e）上单调递减，f（x）在（1e，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：由于直线l；12ykx过定点A（0，12）.如图连接A，B（1，0）两点作直线11122lyx：，过点A作ln01fxxxx的切线l2，设切点P（0x，0y），其中000lnl1()nyxxxfx，，则斜率20ln1lkx切线20000:ln(ln1)()lyxxxxx过点A（0，12）.则00001ln(ln1)(0)2xxxx，即012x，则21ln11ln22lk，当直线1:2lykx绕点A（0，12）在1l与2l之间旋转时.直线1:2lykx与函数yfx在[-1，2]上的图像有三个交点，故1(1ln2,)2k故答案为：1(1ln2,)210．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知关于x的方程20(,)xaxbabR在区间[2,3]上有实根，那么22(1)ab的最小值为________．【答案】5【分析】2bxax，代入22222(1)1abaxax2221()1xxax，可得答案.【详解】因为2bxax，所以22222222222(1)111abaxaxaxaxax2222222222111212axxaxxaxaxxaxax222211()15xxxax，当且仅当2a，2x时取等号，所以22(1)ab的最小值为5．故答案为：5.11．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数2212,13,xaxxafxaxxa，若fx恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．,21,00,B．,21,00,C．1,D．1,00,【答案】B【分析】函数2212yxax，130yaxa均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分布处理．【详解】∵21160a，则二次函数2212yxax有两个零点若2212,fxxaxxa恰有两个零点，则21420aafaaa，得2a此时134,fxaxaxxa无零点，则240a，解得2a则2a若2212,fxxaxxa无零点，则21420aafaaa，得1a此时13,fxaxxa有两个零点，则21130aafaa，得2a则2a若2212,fxxaxxa有且仅有一个零点，则220faaa得1a2，或220faaa，得1a或2a，经检验2a不合题意则12a此时13,fxaxxa有且仅有一个零点，则20130afaa，解得22a且0a则12a且0a综上所述：,21,00,a故选：B．12．（2022·河南安阳·模拟预测（理））关于函数()ln||ln|2|fxxx有下述四个结论：①()fx的图象关于直线1x对称②()fx在区间(2,)单调递减③()fx的极大值为0④()fx有3个零点其中所有正确结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③④D．①③④【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)fx判断①；探讨()fx在(2,)上单调性判断②；探讨()fx在(0,1)和(1,2)上单调性判断③；求出()fx的零点判断④作答.【详解】函数()ln||ln|2|fxxx的定义域为(,0)(0,2)(2,)，对于①，(,0)(0,2)(2,)x，则2(,0)(0,2)(2,)x，(2)ln|2|ln||()fxxxfx，()fx的图象关于直线1x对称，①正确；对于②，当2x时，()lnln(2)fxxx，()fx在(2,)单调递增，②不正确；对于③，当0x时，()ln()ln(2)fxxx，()fx在(,0)单调递减，当02x时，2()lnln(2)ln[(1)1]fxxxx，()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()fx在(2,)单调递增，因此()fx在1x处取极大值(1)0f，③正确；对于④，由()0fx得：2|2|1xx，即2210xx或2210xx，解得12x或1x，于是得()fx有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D【点睛】结论点睛：函数()yfx的定义域为D，xD，存在常数a使得()(2)()()fxfaxfaxfax，则函数()yfx图象关于直线xa对称.13．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数2,0,2ln,0,xxfxgxxxxx„，若方程0fgxgxm的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是（）A．1mB．1m…C．1mD．1m„【答案】C【分析】由题对m取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令,0tgxt，当1m时，方程为10ftt，即()1ftt=-，作出函数yft及1yt的图象，由图象可知方程的根为0t或1t，即20xx或21xx，作出函数2gxxx的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当0m时，方程为0ftt，即ftt，由图象可知方程的根01t，即20,1xxt，结合函数2gxxx的图象，可得方程有四个