考点9-2 基本不等式及其应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点9-2基本不等式及其应用1．（2021·全国·高考真题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．【点睛】2．（2022·全国·高三专题练习）已知,xy都是正数，且2xy，则4121xy的最小值为（）A．1315B．2C．95D．3【答案】C【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令215xy，即可求解.【详解】由题意知，20,10xy，215xy，则4121xy14121152xyxy414112125+52215215yyxxxyxy95，当且仅当21,33xy时，4121xy取最小值95.故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的为（）A．12xxB．函数22243xyx的最小值为4C．若0,x则(2)xx最大值为1D．已知3a时，44233aaaa，当且仅当43aa即4a时，43aa取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于选项A,只有当0x时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,22243xyx222223122333xxxx，令233xtt，即223yttt在3,上单调递增，则最小值为min2832333y,则B不正确；对于选项C,22(2)211111xxxxx，则C正确；对于选项D,当3a时，444332337333aaaaaa，当且仅当433aa时，即5a，等号成立，则D不正确.故选：C.4.（2021·天津·高考真题）若0,0ab，则21abab的最小值为____________．【答案】22【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】0,0ab，2211222222aabbababbbbb，当且仅当21aab且2bb，即2ab时等号成立，所以21abab的最小值为22.故答案为：22.5.（2023·全国·高三专题练习）若实数x，y满足0xy，且4xy，则2xyxy的最大值为______.【答案】18##0.125【分析】令xyt，对不等式变形得到2116xyxytt，利用基本不等式进行求解.【详解】令xyt，则0t，222111161681642xytttxyxyxytttt，当且仅当16tt，即4t时，等号成立，所以2xyxy的最大值为18故答案为：186.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知,ab为正实数且2ab，则2bab的最小值为（）A．32B．21C．52D．3【答案】D【分析】由题知11221babab，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为,ab为正实数且2ab，所以2ba，所以，2221212211babababaab因为22111122224baababababab，当且仅当1ab时等号成立；所以2222213bababaab，当且仅当1ab时等号成立；故选：D7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数,ab满足4111abb，则2ab的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【分析】令211ababb，用1abb分别乘4111abb两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为4111abb，且,ab为正实数所以1(414(1))41111)(abbabbabbabbabb4(1)5291abbbab，当且仅当4(1)1abbbab即2ab时等号成立.所以219,28abab.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）设220,0,4xyxyxy，则11xy的最小值等于（）A．2B．4C．12D．14【答案】B【分析】根据题意得到221144xyxyxyxyxyxyxy，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为224xyxy，可得224xyxy且0,0xy，所以221144424xyxyxyxyxyxyxyxyxy，当且仅当4xyxy时，即2xy等号成立，所以11xy的最小值为4.故选：B.9.（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足11ab1，则41611ab的最小值为__．【答案】16【分析】由条件可得11abb，11baa，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.【详解】解：因为正数a，b满足11ab1，则有1a111bbb，则有11abb，1b111aaa，即有11baa，则有416416416211babaabababb16，当且仅当416baab即有b＝2a，又11ab1，即有a32，b＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．10．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足21ab，则222abab的最小值是__．【答案】22132【分析】设22,2uavb，得到1231123()()222232abuvabuvuv，结合基本不等式，即可求解.【详解】设22,2uavb，则2,22uabv，可得3(,0)uvuv，所以11212311232()()222232uabvuvabuvuvuv123123223221(3)(32)132323232vuvuuvuv，当且仅当632,323vu时，等号成立，取得最小值．故答案为：22132．11.（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,abcR且0,abcabc，则22acac的取值范围是（）A．2,B．,2C．5,22D．52,2【答案】C【分析】首先求得ac，及ca的取值范围，再把22acac转化为关于ca的代数式acca，利用函数1()fttt的单调性去求acca的取值范围即可解决【详解】由0,abcabc，可得00ac，，bac则aacc，则122ca，令cta，则122t221acactaccat，122t又1()fttt在21，单调递增，在112，单调递减15(2)222f，1(1)121f，1115()12222f则5()22ft，即22522acac故选：C12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）正实数x，y满足12e(2)exyxy，则22xyxyx的最小值为（）A．2B．7C．7D．4【答案】A【分析】先根据题干中等式变形，得到21xy，对22xyxyx变形后使用基本不等式求解最小值.【详解】12e(2)exyxy变形为ln212eeyxyx，则12ln2xyxy，即2ln21xyxy，令lngttt，（0t），则110gtt恒成立，则lngttt，（0t）单调递增，又11g，所以21xy，则2222222xxyxyxxyyyxyxyxyxyxyxyxyx，当且仅当xyyx，即13xy时，等号成立，故22xyxyx的最小值为2故选：A13．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列na的首项是11a，前n项和为nS，且1231nnSSnnN，设2log3nnca，若存在常数k，使不等式116nncknNnc恒成立，则k的取值范围为（）A．1,9B．1,16C．1,25D．1,36【答案】C【分析】首先由数列通项与前n项和的关系得到数列na的递推关系123nnaa，再构造等比数列3na，求数列3na的通项公式，进一步求出数列na的通项公式，从而可求数列nc通项公式，代入所求式子1(16)nncnc，分子、分母同除以n构造基本不等式即可求出1(16)nncnc的最大值，从而求出k的范围.【详解】由1231nnSSn，则当2n时，得123(1)1nnSSn，两式相减得123nnaa，变形可得：132(3)nnaa，又134a，122123116aaSS，所以25a，2132(3)aa，∴数列3na是以4为首项、2为公比的等比数列，故113422nnna，所以2log(3)1nncan，所以2111116(16)(16)(1)17168172517nncnnncnnnnnn，当且仅当4n时等号成立，故125k.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列3na求na的通项公式，即可得nc通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求1(16)nncnc的最值，即可求参数范围.14．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数ab，满足1ab，Rc，则222313acbcbabcab的最小值为__________.【答案】623##362-+【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由1ab，得2221aabb，0,0ab，则222222222(31132143)3(2)311aaaabbabcccbcbabcabcbabcba，2263(1)36231cc，当且仅当2262,3(1)1bacc时取“=”，所以当212,,2133abc时，222313acbcbabcab的最小值为623.故答案为：623【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.15．（2022·浙江·三模）已知实数0,0xyz，则234222xyzxxyyz的最小值为_________．【答案】4313【分析】依题意可得23422122222xyzxyzxxyyzxyyz，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；【详解】解：因为0,0xyz，所以22223422212222222xyyzxyzxxyzxxyyzxyyzxyyz2112214142222yzxxyxyyzxyx