考向24不等式选讲（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向24不等式选讲1.（2022年甲卷）23.已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由柯西不等式有222222221112abcabc，所以23abc，当且仅当21abc时，取等号，所以23abc；【小问2详解】证明：因为2bc，0a，0b，0c，由（1）得243abcac，即043ac，所以1143ac，由权方和不等式知22212111293444acacacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取等号，所以113ac2.（2022年乙卷）23.已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即319abc时取等号．【小问2详解】证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc当且仅当abc时取等3.【2021年乙卷】已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．【答案】（1）,42,.（2）3,2.【解析】（1）当1a时，13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，则6fx表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，当4x或2x时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x或2x，所以6fx的解集为,42,.（2）依题意fxa，即3axax恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx时取等号，3minfxa,故3aa，所以3aa或3aa，解得32a.所以a的取值范围是3,2.4.【2021年甲卷】已知函数()2,()2321fxxgxxx．（1）画出yfx和ygx的图像；（2）若fxagx，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a【解析】（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xgxxxxxx，画出函数图像如下：（2）()|2|fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，yfxa是yfx平移了a个单位得到，则要使()()fxagx，需将yfx向左平移，即0a，当yfxa过1,42A时，1|2|42a，解得112a或52（舍去），则数形结合可得需至少将yfx向左平移112个单位，112a.1.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.2.使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。3.使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有,,abc的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即0abc，从而能够使用排序不等式。1、不等式的基本性质：（1）abba（2）,abbcac（不等式的传递性）注：,abbcac，ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）abacbc（4）,0;,0abcacbcabcacbc（5）02,nnababnnN（6）02,nnababnnN2、绝对值不等式：ababab（1）abab等号成立条件当且仅当0ab（2）abab等号成立条件当且仅当0ab（3）abbcac：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当0abbc3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：12111nnnHaaa②几何平均数：12nnnGaaa③代数平均数：12nnaaaAn④平方平均数：22212nnaaaQn（2）均值不等式：nnnnHGAQ，等号成立的条件均为：12naaa（3）三项均值不等式：①33abcabc2223abcabc②33abcabc③22233abcabc4、柯西不等式：222222212121122nnnnaaabbbababab等号成立条件当且仅当1212nnaaabbb或120nbbb（1）二元柯西不等式：22222abcdacbd，等号成立当且仅当adbc（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：22222222212121122nnnnaaabbbababab②222212121212nnnnaaaaaabbbbbb222212121212nnnnaaabbbaaabbb②式体现的是当各项22212,,,naaa系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。③21212121122nnnnnaaaaaabbbababab5、排序不等式：设1212,nnaaabbb为两组实数，12,,,nccc是12,,,nbbb的任一排列，则有：121111221122nnnnnnnabababacacacababab即“反序和乱序和顺序和”1.绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．2.柯西不等式(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(1a21＋1a22＋…＋1a2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1.若存在实数x使得24210xxaa成立，求实数a的取值范围。【解析】依题意可知二次方程24210xxaa有解164210aa即214aa当2a时，72342aa72,2a当12a时，21414aa恒成立1,2a当1a时，12142aaa1,12a综上所述，可得17,22a2已知函数20fxxxaa（1）当1a时，解不等式4fx（2）若不等式4fx对一切xR恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）当1x时，2142xxx1,2x当01x时，2142xxx0,1x当0x时，22143xxx2,03x综上所述：不等式的解集为2,23（2）4fx恒成立min4fx考虑32,,22,0,23,,0xaxafxxxaaxxaaxxfx在,a单调递减，在,a单调递增minfxfaa4a3.已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（1）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【解析】（1）当1a时，()|1|2|1|fxxx因此当1x时，()1223fxxxx，若()1fx则有31x，故4x，这与1x无交集；当11x时，()12231fxxxx，若()1fx则有311x故23x，这11x的交集为213x；当1x时，()1223fxxxx，若()1fx则有31x故2x，这1x的交集为12x综上可得2(,2)3x（2）由于0a，则可得12,1()312,112,xaxfxxaxaaxxa画出分段函数的图像，可得3120xa时，1213ax，当120ax时，221xa因此可得三角形的面积为：121(1)(21)623aaa解得2a或4a（舍去）故可得2a4.已知,,abc均为正数，求证：222211163abcabc，并确定,,abc为何值时，等号成立【解析】由均值不等式可得：32222223abcabc311113abcabc23211119abcabc2322222232111139abcabcabcabc322232123963abcabc等号成立条件：abc5.已知0,0ab，（1）若2ab，求1411ab的最小值（2）求证：22221abababab【解析】（1）2214121111abab由柯西不等式可得：22212141211111ababab2ab14311ab（2）由均值不等式可得：2222222222222abaababbababab三式相加：22222222ababababab即2222221ababababababab6.设正数,,xyz满足221xyz（1）求3xyyzzx的最大值（2）证明：31112511126xyyzzx【解析】（1）221xyz，21xyz13332zzxyyzzxxyzxyxy221416xyzxy221151113316216555zzzxyyzzxz3xyyzzx的最大值为15，此时1155221xyzxyzxyz（2）由柯西不等式可得：231131125111311153xyyzzxxyyzzxxyyzzx由（1）知13