考向26空间几何体的表面积与体积（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析

考向26空间几何体的表面积和体积1.（2022年甲卷理9文10）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若2SS甲乙，则VV甲乙A．5B．22C．10D．5104【答案】C【解析】如图，甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为1r，2r，高分别为1h，2h，则12=4r，22=2r，则1=2r，2=1r，由勾股定理，得15h，222h，所以2221111222222212531011223rhVrhVrhrh甲乙．2.（2022年乙卷理9文12）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．13B．12C．33D．22【答案】C【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则22ra所以该四棱锥的高212ah，所以体积222222223311444144421(1)()()32344233339aaaaaaaVa„当且仅当22142aa，即243a时，等号成立所以该四棱锥的高22311233ah，故选C3.（2022年新高考1卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3刲l33刲，则该正四棱雉体积的取值范围是A．81[18,]4B．2781[,]44C．27[,4643]D．[18,27]【答案】C【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，2223313cos[,]23622lll，则6cosl，sin6sincosml，26sincos6cossintancosmh，212222Smmm底，故222112144(sincos)33VShmh底，令222313sincossin(1sin)(1),sin[,]22yxxxxx2'31yx，故13[,)23x，'0y，33(,]32x，'0y，即222maxmax3664144144[()]333Vy，22min3127144(())224V．4.（2022年新高考2卷第7题）正三棱台高为1，上下底边长分别是33和43，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是A．100B．128C．144D．192【答案】A【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在平面截球所得圆的半径是4，则轴截面中由几何知识可得2222341RR，或2222341RR解得225R，因此球的表面积是24425100SR．故选A.OO2B2C2A2O1C1B1A133M1O1C1B1A143M2O2C2B2A2R242R23243RROA1O1M1A2O2M25.（2022年新高考2卷第11题）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED∥，2ABEDFB，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为1V，2V，3V，则A．32=2VVB．31=VVC．312=VVVD．312=3VV【答案】CD【解析】设2=2ABEDFB，则114=22=33V，212=21=33V．连结BD交AC于M，连结EM、FM，则=3FM，=6EM，=3EF，故132=3622EMFS，31==23EMFVSAC，312=VVV，312=3VV，故选CD．6.（2022年北京卷第9题）已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合5TQSPQ，则T表示的区域的面积为（）A.34B.C.2D.3【答案】B【解析】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且2362332BO，故361226PO.因为5PQ，故1OQ，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为323643136，故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为，故选：B1.空间几何体表面积的求法①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略①直接利用公式进行求解．②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．3.“切”“接”问题的处理规律①“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面．②“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)由棱柱的上下底面平行和球的对称性，可知直棱柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，根据勾股定理求直棱柱外接球的半径．(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为63a，内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1、基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？2、平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误3、“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误一、单选题1．一只会飞行的昆虫被长为12cm的细绳子绑在一个封闭的正方体空盒子内一角（忽略捆绑长度），若盒子的棱长为12cm，则飞虫活动范围的体积为（）A．144B．288C．576D．864【答案】B【解析】根据题意可知，飞虫的活动范围是半径为12R的球的18，球的体积为334412230433VR球，故12888VV球.故选：B.2．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（）A．4B．2C．23D．【答案】A【解析】由题意四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，所以四棱锥的高为512，若圆柱的一个底面的周圆经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124．故选：A．3．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（）A．3B．2C．32D．19【答案】C【解析】设球的半径为R，则24π=20πR，解得2=5R设四棱柱的高为h，则22114hR，解得32h故选：C4．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（）A．43B．43C．83D．83【答案】D【解析】由题设，圆锥的体高、底面半径均为2，所以圆锥的体积为2182233.故选：D5．如图，某多面体的体积是12，其三视图如图所示，则正视图中的高a（）A．1B．34C．23D．12【答案】B【解析】由三视图还原出原几何体为三棱锥，如图所示，结合三视图得该三棱锥体积为：11122322Va，所以a34.故选：B.6．已知点,,ABC是球O的小圆1O上的三点，若133,4ABBCCAOO，则球O的表面积为（）A．64πB．100πC．144πD．200π【答案】B【解析】因为33ABBCCA，所以ABC是正三角形，1O是其外接圆圆心，所以ABC的外接圆半径12333332rOA，球O的半径22221435ROOr，所以球O的表面积为24π4π25100πR.故选：B.7．我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A．1088平方尺B．912平方尺C．720平方尺D．656平方尺【答案】B【解析】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11BC，2π·48AB，解得8AB，则圆柱底面积为212π1283384SAB，侧面积为22π23811528SABCD,则圆柱的表面积12912SSS(平方尺)，故选：B.8．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，且543PAABBC，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A．5πB．200πC．50πD．100π【答案】C【解析】把四棱锥PABCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥PABCD的外接球直径，设球半径为R，则2222(2)50RPAABBC，球表面积为24π50πSR．故选：C．二、多选题9．传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若831mfxxnx，则（）A．32nB．fx的展开式中的4x的系数为56C．fx的展开式中的各项系数之和为0D．i16f，其中i为虚数单位【答案】AC【解析】对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，∴23π2342π3rrmr，222π2π234π2rrrnr，A正确；从而可知1mn，∴831fxxx；对于B，fx展开式通项公式为：24324418811rrrrrrrTCxCxx，令2444r，解得=5r，∴fx的展开式中的4x的系数为558156C，B错误；对于C，10f，即fx展开式的各项系数之和为0，C正确；对于D，88310fiiiii，D错误.故选：AC.10．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，点P为侧面11BCCB上一点（含边界），点Q为该正方体外接球球面上一点．则下面选项正确的是（）A．直线AP与平面ABCD所成最大角为4B．点Q到正方体各顶点距离的平方之和为212aC．点Q到点A和点1C的距离之和最大值为12aD．直线AP与直线BD所成角范围为,32【答案】AB【解析】由题意得：选项A:过点作平面ABCD的垂线，垂足为M，PM最大且AM最小时，所求角最大，此时点P为点1B，所成角为4，A正确；选项B:因为1AC为外接球的直径，所以190AQC，2222113QAQCACa，所以点Q到正方体各顶点距离的平方之和为212a，B正确；选项C:1222113234QACQAQCaQAQCaS，当三角形1Q