易错点06 解三角形-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点06解三角形易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__CasinA＝bsinB＝csinC＝2R常见变形cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA易错点2：三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且656cosacbC，则cosB（）A．78B．56C．34D．23【答案】B【详解】由656cosacbC，边化角得6sin5sin6sincosACBC，又sinsinABC，所以6sin5sin6sincosBCCBC，展开得6sincos6cossin5sin6sincosBCBCCBC，所以6cossin5sinBCC，因为sin0C，所以5cos6B．故选：B．2．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且26a，1cos4A，sin2sinBC，则c（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】sin2sinBC．由正弦定理可得2bc．又∵26a，1cos4A，∴由余弦定理2222cosacbcbA，可得22222112424242cbcbccc，解得2c或2c（舍去）．故选：B．3．已知ABC三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足22(sinsin)sinsin7sinABABB，若1b，则ABC的面积S（）A．154B．78C．152D．158【答案】A【详解】因为22(sinsin)sinsin7sinABABB，由正弦定理得22()7ababb，所以2ab（3ab舍去），三角形周长为5，1b，则2a，2c，由等腰三角形性质知AC边上的高为221152()22h，所以三角形面积为115151224S．故选：A．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22abkab，则△ABC的面积为22c时，k的最大值是（）A．2B．5C．4D．25【答案】B【详解】由题意得21sin22ABCcSabC，所以2sincabC，又因为2222coscababC，所以2222cossin2cosabcabCabCabC，所以22sin2cos5sinabkCCCab，其中tan2，且0k，所以k的取值范围为0,5，故选：B.5．已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且()sinsinsinabAcCbB，若ABC的面积为33，则c的最小值为（）A．23B．43C．2D．4【答案】A【详解】()sinsinsinabAcCbB222aabcb222abcab221cos=22abcCab3C1sin332SabC12ab222212cabababab（当且仅当23c时取等号），∴23c故选：A.1．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为33，π3A，43bc，则a（）A．23B．5C．8D．22【答案】A【详解】由题意可知，1sin332ABCSbcA，得12bc43bc，12bc由余弦定理可得：22222cos()22cosabcbcAbcbcbcA整理得：212a，23a故选：A2．已知ABC中，2227sin3sin2sin2sinsinsinBCAABC，则cos4A（）A．1010B．1010C．55D．255【答案】B【详解】由正弦定理可得2227322sinbcabcA，222732sin2bcbcAa，又2222cosabcbcA，2222732sin2cos2bcbcAbcbcA，化简得：2252(sin2cos)bcAAbc55225bcbccbcb当且仅当5bc时取等号，即25sin()25A，其中tan2，21sin,cos55，即in1()sA，又in1()sA，)sin(1A，π2π2Ak，Zk，即π2π,Z2Akk，ππππsinsin2πcos4424Ak221210(cossin)()221055，πππ10coscossin44410AAA.故选：B3．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，若,6bcbcacC，则B（）A．6B．3C．2D．23【答案】B【详解】由bcbcac得22bcac，结合余弦定理2222cosbacacB，可得2cosacBc，再由正弦定理得sin2sincossinACBC，因为sin2sincossin2sincossinACBBCCBBC，所以sinsinBCC，所以BCC，得2BC．因为6C，所以3B．故选：B4．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sincbA，则2()abab的取值范围是（）A．[3,5]B．[4,6]C．[4,213]D．[4,215]【答案】C【详解】222()22224ababbabaabababab(当且仅当ab时取等号)由3sincbA，可得sin3sinsinCBA2222()2cos22ababcabCababab22sin22cos22cossinsincCCCabAB2sin22cos22cos3sin1sin3CCCCC213sin213C，其中32cos,sin1313，当且仅当2C时取得等号,所以2()4213abab故选：C5．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSac，若2sin2sinaCA，226acb，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（）A．32B．3C．12D．1【答案】A【详解】解：因为2sin2sinaCA，226acb，所以2ac，222622acbac，所以22222221123442422acbSac，故选：A一、单选题1．已知ABC的内角,,ABC对应的边分别是,,abc，内角A的角平分线交边BC于D点，且4AD．若(2)coscos0bcAaC，则ABC面积的最小值是（）A．16B．163C．64D．643【答案】B【详解】∵(2)coscos0bcAaC，∴2sincossincossincos0BACAAC，即2sincossin2sincossin0BACABAB，又0,B，sin0B，∴2cos10A，即1cos2A，又0,A，∴23A，由题可知ABCABDACDSSS，4AD，所以1211sin4sin4sin232323bccb，即4bcbc，又48bcbcbc，即64bc，当且仅当bc取等号，所以1213sin641632322ABCSbc.故选：B.2．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sincossinACB=，224ba，则（）．A．2caB．23caC．23acD．2ac【答案】B【详解】∵sincossinACB=，sin0A，∴由正弦定理得sincossinBbCAa，因为224ab，所以2ab，即1cos2C，∴22222232cos4cababCababa，即23ca．故选：B.3．在ABC中，已知6BC，30A，120B，则ABC的面积等于（）A．9B．18C．93D．183【答案】C【详解】根据正弦定理得：sinsinBCACAB，所以sin63sinBCBACA，因为18030CBA，所以1sin932ABCSCACBC△.故选：C.4．在ABC中，7cos25A，ABC的内切圆的面积为16，则边BC长度的最小值为（）A．16B．24C．25D．36【答案】A【详解】因为ABC的内切圆的面积为16，所以ABC的内切圆半径为4．设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．因为7cos25A，所以24sin25A，所以24tan7A．因为1sin2ABCSbcA△1()42abc，所以25()6bcabc．设内切圆与边AC切于点D，由24tan7A可求得3tan24A4AD，则163AD．又因为2bcaAD，所以323bca．所以2532251626333bcaa．又因为2bcbc，所以3225162333aa，即23210016333aa，整理得21264aa0．因为0a，所以16a，当且仅当403bc时，a取得最小值．故选：A．5．记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若4abc，则sinsinsinABC（）A．12B．54C．45D．2【答案】C【详解】由正弦定理得：sin44sinsin45AacBCbccc.故选：C.6．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且26a，1cos4A，sin2sinBC，则b（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】因为sin2sinBC，由正弦定理可知2bc，在ABC中，由余弦定理可得：22222214241cos2444bcaccAbcc，解得24c，0,2cc，故4b故选：D二、多选题7．如图，ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,,3coscos2sinabcaCcAbB，且3CAB.若D是ABC外一点，1,3DCAD，则下列说法中正确的是（）A．ABC的内角3BB．ABC的内角3CC．四边形ABCD面积的最小值为5332D．四边形ABCD面积无最大值【答案】AB【详解】因为3coscos2sinaCcAbB，所以由正弦定理，得23sincossincos2sinACCAB，所以23sin2sinACB，又因为ABC，所以sinsinACB，所以23sin2sinBB因为sin0,B所以3sin2B，又因为3CAB，所以20,3B，所以3B，所