定义法巧解圆锥曲线问题

1活用圆锥曲线定义巧解题定义是揭示事物本质属性的思想形式，面对一个数学对象，回顾它的定义，常常是解决问题的锐利武器．圆锥曲线的第二定义体现了“形”的统一，第一定义则体现了“质”的区别．两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性．第一种定义和第二种定义的灵活转换常常是打开解析几何思路的钥匙，在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．下面我们一起来看看圆锥“定义”在求解圆锥曲线问题中有哪些常规应用．一．利用圆锥曲线定义巧求离心率例1．F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜=2t，由椭圆定义有：|PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a，∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a，即(2+2)t=4a,t=(4-22)a，∴｜PF2｜=2a-t=(22-2)a，在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2，∴［(4-22)a］2+［(22-2)a］2=(2c)2∴(ac)2=9-62，∴e=ac=26．点评：我们在解有关圆锥曲线问题时，如果题目涉及焦点、准线方程、离心率、圆锥曲线上的点这四个条件中的三个，我们一般的就要联想到圆锥曲线定义，有时甚至只要知道其中的两个条件，也可以联想到圆锥曲线定义．灵活巧妙地运用圆锥曲线的定义，将会带给我们意想不到的方便和简单．二．利用圆锥曲线定义巧求值例2．椭圆)0(2222babyax和双曲线)0,(2222nmnymx有公共的焦点)0,(1cF、)0,(2cF，P为这两曲线的交点，求21PFPF的值．解：设vPFuPF21,，则222222nmbamvuavu，由①②得mavmau，结合③得2221mauvPFPF或22nb．说明：做这道题时，如果我们从P为这两曲线的交点出发，想通过联立方程组解点P的坐标，再利用两点间距离公式去求21,PFPF，其过程十分繁琐，但如果从椭圆与双曲线的定义出发，就比较容易解决问题．①②③2三．利用圆锥曲线的定义求最值例3．如图，FF12、是双曲线xy223＝1的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的一点，求：（1）||||PMPF2的最小值；（2）||||PMPF122的最小值．简解：（1）||||||||||PMPFMFPFPF21128；（2）||||||||||||PMPFPMPFePMPH1211222．（其中|PH|为P到右准线l的距离）说明：（1）和式“||||PMPF2”与双曲线第一定义有质的区别，能否转化为“差”是解题的关键；（2）关键在于处理122||PF的系数，于是联想到e2，可用第二定义转化．四．利用定义判定某些位置关系例4.设l是经过双曲线xayb22221的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？解：如图，分别过A、B及圆心M作双曲线右准线l1的垂线垂足分别为ABM***、、则||(||||)(||||)||***MMAABBeAFBFeABReR12121222（其中e为双曲线的离心率，R为圆的半径）3故以AB为直径的圆与双曲线的右准线有两个交点．五．利用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程求动点轨迹方程，若动点运动规律或几何约束等式符合某一圆锥曲线的定义时，可直接确定其标准方程，并得出待定系数之值，从而直接得出结果．例5．过原点的椭圆的一个焦点为)0,1(1F，长轴长为4，求椭圆中心的轨迹．简析：设椭圆中心为),,(yxM由于椭圆的一个焦点为)0,1(1F，则椭圆的另一个焦点为)2,12(2yxF，再由椭圆的定义知421OFOF，即4)2()12(122yx，即49)21(22yx（除去点0,1）说明：此题看似简单，却是一道颇费思量的题目，当题中条件不易直接得出结论时，回归定义却是最好的办法．一般的，用定义法求轨迹方程有五个步骤：1．分析条件找到动点M在运动过程中与已知条件之间所保持的不变的特性，从中探求动点M的轨迹是否符合某种圆锥曲线的定义——定性；2．再根据条件确定圆锥曲线对称中心、或顶点的位置——定位；3．求出a、b、c或p的值——定量；4．从而得出动点M的轨迹方程——定方程；5．最终要指出动点的运动范围——定范围六．利用圆锥曲线定义巧解实际问题例6．如图A村在B地正北3km处,C村与B地相距4km,且在B地的正东方向.已知公路PQ上任一点到,BC的距离之和都为8km.现在要在公路旁建造一个变电房M,分别向A村,C村送电,但C村有一村办工厂,用电须用专用线路,因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电.要使得所用电线最短,变电房M应建在A村的什么方位?并求出M到A村的距离.分析：实际应用问题要将问题转化为数学模型来解决.解由题意知,||||84||MAMBBC，故点M在以,BC为焦点的椭圆上.如图,建立平面直角坐标系0xy,则(2,0),(2,0),(2,3)BCA.所以点M的轨迹方程为2211612xy.又12cea,右准线2:8alxc.过M作MNl于N，则由椭4圆的第二定义可知||2||MNMC.依题意知求||2||MAMC的最小值,即求||||MAMN的最小值,由平面几何知识可知,当,,MAN共线时,||||MAMN最小.所以(23,3),(8,3)MN,即变电房应建在A村的正东方向且距A村232km处.说明：本解法综合考查了椭圆的第一定义以及标准方程，并利用椭圆的第二定义求最小值问题，特别是第二定义的应用，并借助了数形结合使问题得以解决.从上面我们可以看出：运用圆锥曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解．链接练习1．椭圆)0(12222babyax中如果∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，求离心率．链接练习2．已知双曲线1322yx的右焦点F，右准线l，直线3kxy通过以F、l为对应焦点和准线的椭圆的中心，求k的取值范围．链接练习3．如图,某村在P处有一堆化肥,今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去,已知100PAm,150PBm,60APB,能否在田地ABCD中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近;而另一侧沿道路PB送肥较近?如果能,请说出这条界线是一条什么曲线,并求出其方程.链接练习4．F1、F2为椭圆12222byax的两焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=90°，求椭圆的离心率的取值范围．链接练习5．已知P为椭圆192522yx上一点，1F、2F是椭圆的两个焦点，02160PFF，求21PFF的面积．链接练习6．已知点A（-2，3），设F为椭圆1121622yx的右焦点，M为椭圆上的一动点，求MFAM2的最小值，并求出此时点M的坐标．链接练习7．如图，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为5其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程．链接练习8．已知两圆C1：169)4(22yx，C2：9)4(22yx，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．链接练习9．舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？答案与提示：链接练习1．由椭圆定义知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∵||||22221PFPFcacace，由正弦定理得|PF1|=2Rsinβ，|PF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α+β)，∴2cos2cos2cos2sin22cos2sin2sinsin)sin()sin(sin2)sin(2||||221RRPFPFce说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与焦点三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理．链接练习2．双曲线1322yx的焦点F（2，0），准线23:xl，设),(yxP为椭圆上任意一点，6由定义得)10(,23)2(22eexyx，化简得0449)34()1(22222exeyxe，可得椭圆中心为)0,)1(234(22eeO，由直线3kxy过椭圆的中心，有03)1(23422eek，求出63642kke，而10e，∴163640kk，从而求出k的范围为：023k．链接练习3．若存在满足条件的界线,则界线上的点应经PA或PB走一样的路程.通过建立直角坐标系,即可求出其方程.如图以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系.设M为所求的界线上的一点,则点M满足||||||||MAPAMBPB,即||||50MAMB.故所求界线是以,AB为焦点,实轴长为50的双曲线的一支(靠近B点的一支)的一部分.由于250,25aa,222||1001502100150cos60507cAB,所以257c,因此2223750bca.故所求界线的方程为2216253750xy(其右支位于四边形ABCD内的部分).链接练习4．由椭圆定义知：|PF1|+|PF2|=2a，两边平方得：4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|≤2（|PF1|2+|PF2|2），∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴4a2≤2（2c)2，得22≤e＜1．说明：涉及到角度时，利用勾股定理或余弦定理，再利用不等式放缩，往往简单明了，注意放缩时等号条件是否成立．链接练习5．本题集中了椭圆方程、三角形的面积、三角形的边角关系等条件，在这些条件中，都离不开1PF、2PF两条线段，由此可由椭圆的定义和三角形中的余弦定理出发，求得三角形的面积．在椭圆192522yx中，a=5，3b，c=4，∵P点在椭圆上，∴1PF+2PF=10①由余弦定理得6460cos20212221PFPFPFPF②①2-②得：1PF·2PF=12，∴21S1PF·2PF3323122160sin0．链接练习6．过A点作右准线的垂线，垂足为N，与椭圆交与M，离心率21e，7yxＯＭ1CC2MNMF2，MFAM2的最小值即为AN的长，1082AN，MFAM2的最小值为10．此时点M（23，3）．说明：若利用建立目标函数来求MFAM2的最小值，其函数表达式复杂，用常规方法求解较繁，但若能对MFAM2中的数值“2”进行分析，不难求出“2”就是e1，则根据椭圆的第二定义，2MF就是M点到右准线的距离，问题就可解出．链接练习7．①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，即||||||||||PBPAACBCAB214，故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支：其方程为xyx224810()；②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14，故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为xy221961471．链接练习8．动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．