函数的奇偶性与周期性、对称性课后练习题详解

2020届高中数学第1页共3页函数的奇偶性与周期性、对称性课后练习题详解1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝1＋x2B．y＝x＋1xC．y＝2x＋12xD．y＝x＋ex解：根据奇偶函数的定义可知，选项A，C中的函数是偶函数，选项B中的函数是奇函数．故选D.2．(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数解：f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，13x是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B.3．已知函数f(x)＝x2＋1，x＞0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解：由f(x)的图象易判断f(x)不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.4．(2016·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1，4)B．(－2，1)C．(－1，2)D．(－1，0)解：因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋1＜1，化简得(a－4)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜4.故选A.5．(2016·安庆二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数．若a＝f(20.3)，b＝f(log124)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．cabD．acb解：由已知得，f(x)在[0，＋∞)上为增函数，b＝f(－2)＝f(2)，而120.32log25，故cba.故选B.6．已知g(x)是R上的奇函数，当x0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝x3，x≤0，g（x），x＞0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()2020届高中数学第2页共3页A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1，2)D．(－2，1)解：设x0，则－x0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝x3，x≤0，ln（1＋x），x＞0.易知函数f(x)是R上的单调递增函数，所以由f(2－x2)f(x)，得2－x2x，解得－2x1.故选D.7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解：由于f(－x)＝f(x)，所以ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，所以a＝－32.故填－32.8．(2017·海口市第三次月考)设函数f(x)＝x1＋|x|，则使得f(x)f(2x－1)成立的x的取值范围是________．解：f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，且x0时，f(x)＝x1＋x＝1－11＋x，故f(x)单调递增，又f(0)＝0，从而f(x)是R上的增函数，故f(x)f(2x－1)⇔x2x－1，得x1.故填(－∞，1)．9．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：(1)因为在x∈(－1，1)上f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即b＝0.所以f(x)＝ax1＋x2.又因为f12＝25，所以a21＋14＝25.解得a＝1.所以f(x)＝x1＋x2，经检验适合题意．(2)证明：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝（x1x2－1）（x2－x1）（1＋x21）（1＋x22），x1x2＜1，则x1x2－1＜0，x2－x1＞0，故f(x1)－f(x2)＜0.所以f(x)在(－1，1)上是增函数．(3)由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．所以－1＜t－1＜1，－1＜－t＜1，t－1＜－t，得0＜t＜12.故t的取值范围为0，12.10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.2020届高中数学第3页共3页(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝－x，x∈[－1，0]，x，x∈（0，1），－x＋2，x∈[1，2].(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．解：因为f(－x)＝－x3＋2x＋1ex－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，所以数f(x)在R上单调递增，又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，故实数a的取值范围为－1，12.故填－1，12.