第3章　§3.2　导数与函数的单调性

§3.2导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)0f(x)在区间(a，b)上________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f′(x)的；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)0有解．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增．()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数．()教材改编题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则fπ5，f(1)，fπ3的大小关系为________________．(用“”连接)题型一不含参函数的单调性例1(1)函数f(x)＝xlnx－3x＋2的单调递减区间为________．(2)若函数f(x)＝lnx＋1ex，则函数f(x)的单调递增区间为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．跟踪训练1已知函数f(x)＝x－lnx－exx.判断函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝(2－a)x－lnx－1，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)若a0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练2已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)(多选)下列不等式成立的是()A．2ln3232ln2B.2ln33ln2C．5ln44ln5D．πelnπ(2)已知函数f(x)＝cosx＋ex＋e－x－12x2，则关于x的不等式f(2x－1)f(3＋x)的解集为()A．(－1,2)B.－23，4C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.－∞，－23∪(4，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2根据函数的单调性求参数例4已知函数f(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)．(1)若f(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝1ex－ex＋2x－13x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝－12x2－3x＋4lnx在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．