第2章　§2.3　函数的奇偶性、周期性

§2.3函数的奇偶性、周期性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.()(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．()(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．()教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上()A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________.题型一函数奇偶性的判断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝xsinx是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝x2－xx－1是奇函数听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋1，x0，ax3＋b，x0为偶函数，则2a＋b等于()A．3B.32C．－12D．－32(2)(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x0时，f(x)等于()A．2－x－x－1B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1D．－2－x＋x＋1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2利用奇偶性解不等式例3函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式fx－2f－xx0的解集为()A．(－2,2)B．(－∞，0)∪(0,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋1x＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于()A．1B．3C．4D．5(2)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)f(2)，则实数x的取值范围是()A．(1,4)B.0，14∪(4，＋∞)C.14，1∪(1,4)D.14，4(3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.题型三函数的周期性例4(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f72的值等于()A.52B.32C.12D．－12(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为____________________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减D．f(x)在[－6,6]上有8个零点