第3节 成对数据的统计分析

第3节成对数据的统计分析考试要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.1.变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：正相关和负相关.(3)线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.2.样本相关系数(1)相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：(2)相关系数r的性质①当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)经验回归方程与最小二乘法我们将y^＝b^x＋a^称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b^，a^叫做b，a的最小二乘估计，其中(2)利用决定系数R2刻画回归效果，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为xy合计y＝y1y＝y2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)临界值χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.(3)独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281.求解经验回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本点的中心(x－，y－).2.根据经验回归方程计算的y^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()(2)通过经验回归方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.()(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(多选)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为y^＝b^x＋a^，那么下列说法正确的是()A.相关系数r不可能等于1B.直线y^＝b^x＋a^必经过点(x－，y－)C.直线y^＝b^x＋a^表示最接近y与x之间真实关系的一条直线D.相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小答案BCD解析相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错误；直线y^＝b^x＋a^必过样本点中心即点(x－，y－)，故B正确；直线y^＝b^x＋a^是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，故D正确.3.(2022·烟台模拟)某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过()A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%答案B解析∵χ2＝7.0696.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.4.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是()A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋bexD.y＝a＋blnx答案D解析由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.5.(易错题)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.二孩生育意愿城市级别合计非一线一线愿生452065不愿生132235合计5842100由χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得χ2＝100×（45×22－20×13）258×42×35×65≈9.616.参照下表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以得到的结论是________.答案生育意愿与城市级别有关6.(2021·广州一模)若某商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下表所示的对应数据：x24568y2040607080根据表中数据，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为y^＝b^x＋1.5，根据预测，当投入10万元时，销售额的估计值为________万元.答案106.5解析x－＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y－＝15×(20＋40＋60＋70＋80)＝54，∴样本中心为(5，54)，将其代入经验回归方程y^＝b^x＋1.5中，有54＝5b^＋1.5，解得b^＝10.5，所以经验回归方程为y^＝10.5x＋1.5，当x＝10时，y^＝10.5×10＋1.5＝106.5.考点一成对数据的相关性1.(2022·重庆诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份123456人均销售额658347利润率(%)12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是()A.利润率与人均销售额成正相关关系B.利润率与人均销售额成负相关关系C.利润率与人均销售额成正比例函数关系D.利润率与人均销售额成反比例函数关系答案A解析由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误.2.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()答案D解析观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1B.0C.－12D.1答案A解析因为样本点在直线y＝－12x＋1上，呈现完全负相关，样本相关系数为－1.4.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1的决定系数R2为0.98B.模型2的决定系数R2为0.80C.模型3的决定系数R2为0.50D.模型4的决定系数R2为0.25答案A解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R2越接近1，模型拟合效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型1.感悟提升判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)决定系数法：利用决定系数判定，R2越趋近1，拟合效果越好，相关性越强.考点二回归分析角度1线性回归分析例1(2021·广州模拟)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图如图所示：(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明(若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少.附：相关系数＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2∑ni＝1y2i－ny－2，经验回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.解(1)x－＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y－＝3＋4＋5＋6＋75＝5.∑5i＝1(xi－x－)(yi－y－)＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14，∑5i＝1(xi－x－)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，∑5i＝1(yi－y－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.＝1420×10＝72100.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)b^＝∑5i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑5i＝1（xi－x－）2＝1420＝0.7，则a^＝y－－b^x－＝5－0.7×5＝1.5，∴y^＝0.7x＋1.5.当x＝12时，y^＝0.7×12＋1.5＝9.9，∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克.角度2非线性回归分析例2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x－y－w－∑8i＝1(xi－x－)2∑8i＝1(wi－w－)2∑8i＝1(xi－x－)·(yi－y－)∑8i＝1(wi－w－)·(yi－y－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w－＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni＝1（ui－u－）（vi－v－）∑ni＝1（ui－u－）2，α^＝v－－β^u－.解(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d^＝∑8i＝1（wi－w－）·（yi－y－）∑8i＝1（wi－w－）2＝108.81.6＝68，c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，所