第2节 函数的单调性与最大(小)值

第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.2.函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－xB.f(x)＝23xC.f(x)＝x2D.f(x)＝3x答案D3.函数y＝xx－1在区间[2，3]上的最大值是()A.32B.2C.3D.3.5答案B解析∵函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2，3]上递减，∴当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.4.(2022·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋x－1的最小值为________.答案9解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝x－1在[1，＋∞)内均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________.答案[－1，1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1＞2a，解得－1≤a＜1.6.(易错题)函数f(x)＝1x2－2x－3的单调增区间为________.答案(－∞，－1)解析由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).考点一确定函数的单调性(区间)1.(2022·百校大联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是()A.y＝－sinxB.y＝x2－2x＋3C.y＝ln(x＋1)D.y＝2022－x2答案D解析y＝－sinx和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.2.函数y＝log12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.12，3B.－2，12C.(－2，3)D.12，＋∞答案A解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t，易知其为减函数.由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为12，3.3.设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.答案[0，1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1).4.已知f(x)＝xx－a(x≠a).(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.(1)证明当a＝－2时，f(x)＝xx＋2.设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.(2)解设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a（x2－x1）（x1－a）（x2－a）.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.考点二求函数的最值例1(1)函数f(x)＝13x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________.答案8解析因为函数y＝13x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝13x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝13－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.答案1解析法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.法二依题意，h(x)＝log2x，0x≤2，－x＋3，x2.当0x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.感悟提升1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.训练1(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________.答案[3，＋∞)解析函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1＜x＜2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).(2)设函数f(x)＝2xx－2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则m2M＝________.答案83解析∵f(x)＝2xx－2＝2x－4＋4x－2＝2＋4x－2在[3，4]上单调递减，∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，∴M＝6，m＝4，∴m2M＝166＝83.考点三函数单调性的应用角度1比较函数值的大小例2设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则()A.flog314＞f(2－32)＞f(2－23)B.flog314＞f(2－23)＞f(2－32)C.f(2－32)＞f(2－23)＞flog314D.f(2－23)＞f(2－32)＞flog314答案C解析f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，则flog314＝f(－log34)＝f(log34).又log34＞1，0＜2－32＜2－23＜1，∴f(log34)＜f(2－23)＜f(2－32)，即f(2－32)＞f(2－23)＞flog314.感悟提升利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.角度2解函数不等式例3(1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是________.答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)2得，f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.感悟提升求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.角度3求参数的取值范围例4(1)(2022·九江三校联考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，1]解析令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.又y＝et为增函数，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.(2)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x4.若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.感悟提升利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.训练2(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当