第3节 奇偶性、对称性与周期性

第3节奇偶性、对称性与周期性考试要求1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点a＋b2，0对称.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.2.(多选)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝ln|x|D.y＝2－x答案BC解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f－13＝13，则f53＝()A.－53B.－13C.13D.53答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f53＝f53－2＝f－13＝13.4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.答案(－2，0)∪(2，5]解析由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].5.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.答案－7解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝－x3，则f112＝________.答案18解析由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f112＝f－12＝－f12＝123＝18.考点一函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x0，－x2＋x，x0.解(1)由3－x2≥0，x2－3≥0得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1－x2＞0，|x－2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg（1－x2）－x.又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）－x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.角度2函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.答案x－1解析当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.(2)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax，若f(ln2)＝8，则a＝________.答案－3解析当x0，－x0，f(－x)＝－e－ax.因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a＝8.解得a＝－3.感悟提升1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.训练1(1)(多选)(2022·武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y＝ex－1D.y＝xln(x2＋1－x)答案BC解析A中，y＝xsinx为偶函数.B中，函数y＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.C中，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数.D中，y＝xln(x2＋1－x)是偶函数.(2)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0；③f′(x)是奇函数.答案f(x)＝x4(x∈R)(答案不唯一)解析因为f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，所以f(x)可以是幂函数形式的函数；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数.因此函数f(x)可以是f(x)＝x4(x∈R).考点二函数的周期性及应用例3(1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝()A.－50B.0C.2D.50答案C解析法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝505×0＋f(1)＋f(2)＝2.(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f92＝()A.－94B.－32C.74D.52答案D解析由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时.f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f92＝f12＝－f32＝2×322－2＝52.感悟提升1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练2(1)(2021·湖南六校联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.答案7解析因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋3)＝－1f（x），当1＜x≤3时，f(x)＝cosπx3，则f(2020)＝________.答案－12解析由已知可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝－1f（x＋3）＝－1－1f（x）＝f(x)，故函数f(x)的周期为6，∴f(2020)＝f(6×336＋4)＝f(4).∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，则f(4)＝f(1＋3)＝－1f（1）＝－1f（－1）＝f(2