第2节 两条直线的位置关系

第2节两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′，y′.1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是()A.(2，0)B.(0，2)C.(4，6)D.(6，4)答案AC解析设B(x，y)，根据题意可得kAC·kBC＝－1，|BC|＝|AC|，即3－43－0·y－3x－3＝－1，（x－3）2＋（y－3）2＝（0－3）2＋（4－3）2，解得x＝2，y＝0，或x＝4，y＝6，所以B(2，0)或B(4，6).3.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A.1B.2C.3D.2答案B解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为2.4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.答案－9解析由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.5.(2020·上海卷)已知直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为________.答案2解析直线l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，当l1∥l2时，a2－1＝0解得a＝±1.当a＝1时，l1与l2重合，不满足题意；当a＝－1时，l1∥l2，则l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，则l1与l2的距离为d＝|－1－1|12＋（－1）2＝2.6.(2022·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝________.答案－4解析∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－a4×25＝－1，∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0.将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.考点一两直线的平行与垂直1.已知m，n∈R，则“直线x＋my－1＝0与nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析直线x＋my－1＝0与直线nx＋y＋1＝0平行，则1n＝m1≠－11，∴mn＝1，充分性成立.而m＝－1，n＝－1时，mn＝1，但x－y－1＝0与－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.2.(2021·烟台期末)若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是()A.3或－3B.3或4C.－3或－1D.－1或4答案A解析∵直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.3.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.答案4x－3y＋9＝0解析法一由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0，解得x＝－53，y＝79，即交点为－53，79.因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝43.由点斜式得所求直线方程为y－79＝43x＋53，即4x－3y＋9＝0.法二由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0.由方程组2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0，可解得交点为－53，79，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.法三由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.4.(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是()A.若l1∥l2，则m＝－1或m＝3B.若l1∥l2，则m＝3C.若l1⊥l2，则m＝－12D.若l1⊥l2，则m＝12答案BD解析若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝12，故C不正确，D正确.感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两直线的交点与距离问题例1(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.答案－16，12解析由方程组y＝kx＋2k＋1，y＝－12x＋2，解得x＝2－4k2k＋1，y＝6k＋12k＋1，(若2k＋1＝0，即k＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为2－4k2k＋1，6k＋12k＋1.又∵交点位于第一象限，∴2－4k2k＋1＞0，6k＋12k＋1＞0，解得－16＜k＜12.(2)(2022·湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.答案[0，10]解析由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10].(3)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________.答案2或－6解析由题意得36＝－2a≠－1c，∴a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0.由两平行线间的距离公式得c2＋113＝21313，即c2＋1＝2，解得c＝2或c＝－6.感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.训练1(1)(2021·淮南模拟)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围为________.答案－13，12解析联立kx－y＋2k＋1＝0，2x＋y－2＝0，解得x＝1－2k2＋k，y＝2＋6k2＋k(k≠－2).∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，∴1－2k2＋k0，且2＋6k2＋k0，解得－13k12.(2)(多选)(2022·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A.2x＋3y－8＝0B.4x＋6y＋5＝0C.6x＋9y－10＝0D.12x＋18y－13＝0答案BD解析设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意知d1＝|m＋2|16＋36，d2＝|m＋9|16＋36.因为d1d2＝12，所以2|m＋2|16＋36＝|m＋9|16＋36，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－133，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考点三对称问题角度1点关于点对称例2过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度2点关于线对称例3已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.答案6x－y－6＝0解析设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－（－3）·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－