第4节 三角函数的图象与性质

第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y＝tanx在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.2.(2022·福州质检)下列函数中，周期为π，且在区间π2，π上单调递增的是()A.y＝|sinx|B.y＝tan2xC.y＝cos2xD.y＝sin2x答案C解析对于A，y＝|sinx|的周期为π，在π2，π上单调递减，不合要求；对于B，y＝tan2x的周期为π2，在π2，3π4和3π4，π上单调递增，不合要求；对于C，y＝cos2x的周期为π，在π2，π上单调递增，符合要求；对于D，y＝sin2x的周期为π，在π2，π上不单调，不合要求.3.(2022·青岛调研)函数y＝3tan2x＋π4的定义域是()A.xx≠kπ＋π2，k∈ZB.xx≠k2π－π8，k∈ZC.xx≠k2π＋π8，k∈ZD.xx≠k2π，k∈Z答案C解析要使函数有意义，则2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠k2π＋π8，k∈Z，所以函数的定义域为xx≠k2π＋π8，k∈Z.4.(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sinx3＋cosx3的最小正周期和最大值分别是()A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2答案C解析因为函数f(x)＝sinx3＋cosx3＝222sinx3＋22cosx3＝2sinx3cosπ4＋cosx3sinπ4＝2sinx3＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.5.(多选)(2022·广州一模)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x，则()A.f(x)的最大值为3B.f(x)的图象关于直线x＝π8对称C.f(x)的图象关于点－π8，1对称D.f(x)在－π4，π4上单调递增答案BC解析f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，则f(x)的最大值为2＋1，故A错误；fπ8＝2sin2×π8＋π4＋1＝2＋1，则f(x)的图象关于直线x＝π8对称，故B正确；f－π8＝2sin2×－π8＋π4＋1＝1，则f(x)的图象关于点－π8，1对称，故C正确；当x∈－π4，π4时，2x＋π4∈－π4，3π4，故当2x＋π4∈－π4，π2，即x∈－π4，π8时，函数单调递增；当2x＋π4∈π2，3π4，即x∈π8，π4时，函数单调递减，故D错误.6.cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________.答案sin68°＞cos23°＞cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°＞cos23°＞cos97°.考点一三角函数的定义域和值域1.f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为()A.12B.14C.22D.1答案B解析∵f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x＝sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－12sin2xcos2x＝－14sin4x，∴f(x)＝sin3xcosx－sinxcos3x的最大值为14.2.函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________.答案x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z解析要使函数有意义，则sinx＞0，cosx－12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，解得2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.3.当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________.答案78，2解析因为x∈π6，7π6，所以sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78，所以当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为78，2.4.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.答案－12－2，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.感悟提升1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1(1)(多选)(2022·临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A.y＝cos|2x|B.y＝|cosx|C.y＝cos2x＋π6D.y＝tan2x－π4答案ABC解析A中，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；C中，y＝cos2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；D中，y＝tan2x－π4的最小正周期T＝π2.(2)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sinx＋θ＋π3θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.答案π6解析∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z).又θ∈－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.(3)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案2kπ＋4π3，0，k∈Zx＝2kπ＋π3，k∈Z解析由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝2kπ(k∈Z)，又∵|φ|π2，所以φ＝－π6，故f(x)＝cos12x－π6，令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝4π3＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ＋4π3，0，k∈Z.令12x－π6＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋π3，k∈Z.感悟提升(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπ（k∈Z），求x即可.(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z).训练1(1)(2021·北京卷)已知函数f(x)＝cosx－cos2x，则该函数为()A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为98答案D解析函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数.f(x)＝cosx－cos2x＝cosx－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2cosx－142＋98，又cosx∈[－1，1]，故f(x)的最大值为98.(2)(多选)(2021·大连模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx＋32(1－2sin2x)，则有关函数f(x)的说法正确的是()A.f(x)的图象关于点π3，0对称B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x＝π6对称D.f(x)的最大值为3答案AB解析由题可知f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3.当x＝π3时，2x＋π3＝π，故函数f(x)的图象关于点π3，0对称，故A正确；函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故B正确；当x＝π6时，2x＋π3＝2π3，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝π6对称，故C错误；函数f(x)的最大值为1，故D错误.考点三三角函数的单调性角度