第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考试要求1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2.(易错题)y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3答案C解析由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.5π4答案C解析f(x)＝sin2x＋cos2x＝2cos2x－π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y＝2cos2x－π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为3π8.4.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2答案C解析由题图知，f－4π9＝0且f(－π)0，f(0)0，所以－4π9ω＋π6＝－π2(ω0)，解得ω＝32，所以f(x)的最小正周期为T＝2πω＝4π3.5.(易错题)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.6.(2022·辽宁百校联盟质检)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sinx2＋π4的图象，则f(x)的解析式是________；函数f(x)在区间－π8，π12上的值域是________.答案f(x)＝sin2x－5π12－1，－22解析由题意，把y＝sinx2＋π4的图象的横坐标变为原来的14，纵坐标不变，可得y＝sin2x＋π4的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，可得f(x)＝sin2x－π3＋π4＝sin2x－5π12的图象.当x∈－π8，π12时，2x－5π12∈－2π3，－π4，则sin2x－5π12∈－1，－22.考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6.列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：(3)将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx＋π6的图象，再将y＝sinx＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋π6的图象，再将y＝sin2x＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin2x＋π6的图象.迁移本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？解因为f(x)＝2sin2x＋π6＝2cos2x＋π6－π2＝2cos2x－π3，将y＝cosx的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到函数y＝cosx－π3的图象，再将y＝cosx－π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝cos2x－π3的图象，再将y＝cos2x－π3上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos2x－π3图象，即为f(x)＝2sin2x＋π6的图象.感悟提升作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.训练1(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)＝()A.sinx2－7π12B.sinx2＋π12C.sin2x－7π12D.sin2x＋π12答案B解析依题意，将y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx－π4的图象――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f（x）＝sinx2＋π12的图象．（2）（多选）（2022·长沙调研）将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（）A.在区间π12，7π12上单调递减B.在区间π12，7π12上单调递增C.在区间－5π12，π12上单调递减D.在区间－5π12，π12上单调递增答案BC解析将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y＝3sin2x－π2＋π3＝3sin2x－2π3.令－π2＋2kπ≤2x－2π3≤π2＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递增区间为π12＋kπ，7π12＋kπ，k∈Z，令k＝0，可知B正确；令π2＋2kπ≤2x－2π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递减区间为7π12＋kπ，13π12＋kπ，k∈Z，令k＝－1，可知C正确，故选BC.考点二由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例2（2021·全国甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则fπ2＝Ｗ.答案－3解析由题图可知34T＝13π12－π3＝3π4（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.点π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.故f（x）＝2cos2x－π6，所以fπ2＝2cos2×π2－π6＝－2cosπ6＝－3.感悟提升由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.训练2（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）A＞0，ω＞0，0＜φ＜π8的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin12x＋π6B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin2x－π6C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－π3D.函数g（x）在区间π，4π3上单调递增答案ABD解析由题图可知，A＝2，T4＝π，所以T＝4π＝2πω，解得ω＝12，故f（x）＝2sin12x＋4φ.因为图象过点C（0，1），所以1＝2sin4φ，即sin4φ＝12.因为0＜φ＜π8，所以0＜4φ＜π2，所以4φ＝π6，故f（x）＝2sin12x＋π6.故A正确；若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，所得到的函数解析式为y＝2sin2x＋π6，再向右平移π6个单位长度，所得到的函数解析式为g（x）＝2sin2x－π6＋π6＝2sin2x－π6，故B正确；当x＝－π3时，f－π3＝2sin0＝0，即x＝－π3时，f（x）不是最值，故x＝－π3不是函数f（x）的一条对称轴，故C错误；令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2（k∈Z），得kπ－π6≤x≤kπ＋π3（k∈Z），故函数g（x）的单调递增区间是kπ－π6，kπ＋π3（k∈Z），当k＝1时，g（x）在区间5π6，4π3上单调递增.故D正确.考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1图象与性质的综合应用例3已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f（x）的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A.－