重难点08解三角形（5种题型）（解析版）

重难点08解三角形（5种题型）考题考点考向2022新高考1第18题解三角形及其综合应用求角度及最值2021新高考2第18题解三角形及其综合应用求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【分析】（1）由三角形内角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，设AB边上的高为h，则＝，∴＝，解得h＝6，即AB边上的高为6．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．【分析】（1）根据已知条件，推得，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即可求解；（2）根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1））D为BC中点，，则，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，，，，解得CD＝2，∴BD＝2，，故＝＝；（2），，AD＝1，b2+c2＝8，则，∴bccosA＝﹣2①，，即②，由①②解得，∴，∴bc＝4，又b2+c2＝8，∴b＝c＝2．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．【分析】（1）根据S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝acsinB，求△ABC面积．（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．【解答】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，S2＝b2sin60°＝b2，S3＝c2sin60°＝c2，∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．∴△ABC的面积为．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝•＝已知，sinB＝，sinAsinC＝，解得：b＝．【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．解三角形1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角四、考点清单（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝一．正弦定理（共6小题）1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）证明：2a＝b+c；（2）若cosA＝，a＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用余弦定理化简已知即可证明；（2）由题意，利用余弦定理可求得bc的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）证明：因为，可得2a﹣acosB＝b+bcosA，所以由余弦定理可得2a＝b+b•+a•，整理可得2a＝b+c，得证；（2）因为cosA＝，a＝2，2a＝b+c，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得24＝b2+c2﹣2×bc×＝（b+c）2﹣2bc﹣2×bc×＝96﹣2bc﹣2×bc×，解得bc＝20，五、题型方法又sinA＝＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＝6．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2．（2023•和平区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）若．（ⅰ）求△ABC的面积；（ⅱ）求cos（2C﹣A）．【分析】（1）由正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A；（2）（i）利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；（ii）利用正弦定理求出sinC，再利用二倍角公式求出sin2C，cos2C，求解即可．【解答】解：（1）∵（bcosC+ccosB）tanA＝﹣a，由正弦定理得（sinBcosC+sinCcosB）tanA＝﹣sinA．∴sin（B+C）tanA＝﹣sinA，∴sinA•tanA＝﹣sinA，∵sinA＞0，∴tanA＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝；（2）（ⅰ）若，A＝，由余弦定理得7＝c2+1﹣2c×1×（﹣），即c2+c﹣6＝0，∵c＞0，∴c＝2，∴△ABC的面积为bcsinA＝×1×2×＝；（ⅱ）由正弦定理＝，得sinC＝，∵a＞c，∴cosC＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin2C＝2sinCcosC＝，∴cos（2C﹣A）＝cos2CcosA+sin2CsinA＝×（﹣）+×＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，且b＞c．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin（B+）＝sinC，由题意可求得B＞C，进而根据B++C＝π，可得A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc＝2，进而根据余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周长的值．【解答】解：（1）因为sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，所以sinB+cosB＝2sinC，即sin（B+）＝sinC，因为b＞c，可得B＞C，所以B++C＝π，可得B+C＝，A＝．（2）因为a＝，△ABC的面积为＝bcsinA，又sinA＝，所以bc＝2，由余弦定理可得cosA＝＝＝，所以＝，可得b+c＝3，所以△ABC的周长的值为3+．【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+csinC＝（asinC+b）sinB．（1）求B；（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求tanB，进而可求B；（2）延长BD到E，使得BE＝BD，则，则，然后结合向量数量积的性质及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．【解答】解：（1）因为asinA+csinC＝（asinC+b）sinB，由正弦定理得，a2+c2＝acsinB+b2，∴＝2accosB，故，即tanB＝，因为B为三角形内角，所以B＝，；（2）如图延长BD到E，使得BD＝DE，则，则，∴＝＝4，即4＝（a2+c2+2accos60°），∴a2+c2＝16﹣ac≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，解得，ac，△ABC面积S＝＝≤＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及向量数量积的性质的综合应用，属于中档题．5．（2023•靖远县模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得tanC＝1，即可求解；（2）由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得b∈（2，4），即可求解．【解答】解：（1），由正弦定理，