第02讲 两条直线的位置关系（八大题型）（讲义）（解析版）

第02讲两条直线的位置关系目录考点要求考题统计考情分析（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2022年上海卷第7题，5分2020年III卷第8题，5分2020年上海卷第7题，5分高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．知识点一：两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直11112222:0:0lAxByClAxByC1221122100且ABABBCBC12120AABB111222::lykxblykxb（斜率存在）11,22::lxxlxx（斜率不存在）1212,kkbb或1212,,xxxxxx121kk或12与kk中有一个为0，另一个不存在．知识点二：三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)PxyPxy的距离公式为22121212||()()PPxxyy．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离22||.OPxy2、点到直线的距离点000(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离0022||AxByCdAB特别地，若直线为l：x=m，则点000(,)Pxy到l的距离0||dmx；若直线为l：y=n，则点000(,)Pxy到l的距离0||dny3、两条平行线间的距离已知12,ll是两条平行线，求12,ll间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0lAxByClAxByC，则1l与2l之间的距离1222||CCdAB注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式双根式22111222()fxaxbxcaxbxc型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．【解题方法总结】1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，Pxy关于点00()，Qxy的对称点为22()，Pxy，则根据中点坐标公式，有12012022xxxyyy可得对称点22()，Pxy的坐标为0101(22)，xxyy2、点关于直线对称点11()，Pxy关于直线:0lAxByC对称的点为22()，Pxy，连接PP，交l于M点，则l垂直平分PP，所以PPl，且M为PP中点，又因为M在直线l上，故可得12121022lPPkkxxyyABC，解出22()，xy即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线1:0laxbyc，关于直线2:0ldxeyf（两直线不平行）的对称直线3l第一步：联立12，ll算出交点00()，Pxy第二步：在1l上任找一点（非交点）11()，Qxy，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，Qxy第三步：利用两点式写出3l方程5、常见的一些特殊的对称点()，xy关于x轴的对称点为()，xy，关于y轴的对称点为()，xy．点()，xy关于直线yx的对称点为()，yx，关于直线yx的对称点为()，yx．点()，xy关于直线xa的对称点为(2)，axy，关于直线yb的对称点为(2)，xby．点()，xy关于点()，ab的对称点为(22)，axby．点()，xy关于直线xyk的对称点为()，kykx，关于直线xy=k的对称点为()，kyxk．6、过定点直线系过已知点00()，Pxy的直线系方程00()yykxx（k为参数）．7、斜率为定值直线系斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）．8、平行直线系与已知直线0AxByC平行的直线系方程0AxBy（为参数）．9、垂直直线系与已知直线0AxByC垂直的直线系方程0BxAy（为参数）．10、过两直线交点的直线系过直线1111:0lAxByC与2222:0lAxByC的交点的直线系方程：111222()0AxByCAxByC（为参数）．题型一：两直线位置关系的判定例1．（2023·高二课时练习）直线220xy与420axy互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A．1,4B．0,2C．1,0D．0,12【答案】C【解析】易知直线220xy的斜率为2，由两直线垂直条件得直线420axy的斜率142a，解得2a；联立2202420xyxy，解得10xy；即交点为1,0故选：C.例2．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点(2,)Am和点(,4)Bm的直线为l1，2311:21,:lyxlyxnn.若1223//,llll，则mn的值为（）A．10B．2C．0D．8【答案】A【解析】因为12ll//，所以422ABmkm，解得8m，又23ll，所以121n，解得2n.所以10mn.故选：A.例3．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线1:250lxay，2:3120laxay，则1a是12ll的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当1a时，直线1:250lxy，2:220lxy，此时121,22kk=-=，则121kk?-，所以12ll，故充分性成立；当12ll时，13120aaa，解得1a或12a，故必要性不成立；所以“1a”是“12ll”的充分不必要条件，故选：C.变式1．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）直线1l：220mxy与直线2l：(1)0xmy平行，则m（）A．1或2B．2C．1D．2【答案】A【解析】因为直线1l：220mxy与直线2l：(1)0xmy平行，所以12102mmm或1m，当1m时，直线1l：220xy，直线2l：20xy，此时直线1l与直线2l平行，满足题意，当2m时，直线1l：10xy，直线2l：0xy，此时直线1l与直线2l平行，满足题意，故选：A.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线1l：210axy，2l：30axya，则条件“1a”是“12ll”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件【答案】B【解析】若12ll，则312aa，解得1a或2a.故1a是12ll的充分不必要条件.故选：B变式3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线12:0,:10lxylaxby，若12ll，则ab（）A．1B．0C．1D．2【答案】B【解析】因为直线12:0,:10lxylaxby，且12ll，则110ab，所以0ab.故选：B变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（）A．94(,)77B．5413(,)77C．3813(,)33D．385(,)77【答案】D【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴21yx·3(2)10＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴2yx＝321(1)，∴x－2y－4＝0，由得590240xyxy，38757xy，故选：D.变式5．（2023·甘肃陇南·高三统考期中）已知ABC的顶点2,1B，6,3C，其垂心为3,2H，则其顶点A的坐标为A．19,62B．19,62C．19,62D．19,62【答案】A【解析】H为ABC的垂心AHBC，BHAC又311624BCk，211325BHk直线,AHAC斜率存在且4AHk，5ACk设,Axy，则243356AHACykxykx，解得：1962xy19,62A本题正确选项：A变式6．（2023·全国·高三专题练习）直线1:11lxayaaR，直线21:2lyx，下列说法正确的是（）A．Ra，使得12ll∥B．Ra，使得12llC．Ra，1l与2l都相交D．Ra，使得原点到1l的距离为3【答案】B【解析】对A，要使12ll∥，则12kk∥，所以1112a，解之得1a，此时1l与2l重合，选项A错误；对B，要使12ll，121kk?-，11112a，解之得32a，所以B正确；对C，1:11lxaya过定点()2,1-，该定点在2l上，但是当1a时，1l与2l重合，所以C错误；对D，0022221311AxByCadABa，化简得2820170aa，此方程Δ0，a无实数解，所以D错误.故选：B.变式7．（2023·全国·高三对口高考）设,,abc分别为ABC中,,ABC所对边的边长，则直线sin0Axayc与直线sinsin0bxByC的位置关系是（）A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合【答案】B【解析】由题意可知直线sin0Axayc与直线sinsin0bxByC的斜率均存在且不为0，直线sin0Axayc的斜率1sinAka，直线sinsin0bxByC的斜率2sinbkB，由正弦定理可得12sin1sinAbabkkaBab，所以两直线垂直，故选：B【解题方法总结】判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设1111:0lAxByC（11,AB不全为0），2222:0lAxByC（22,AB不全为0），则：当12210ABAB时，直线12,ll相交；当1221ABAB时，12,ll直线平行或重合，代回检验；当12120AABB时，12,ll直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．题型二：两直线的交点与距离问题例4．（2023·全国·高三专题练习）若直线:3lykx与直线2360xy的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．ππ,63B．ππ,62C．ππ,32D．ππ,62【答案】D【解析】法一：联立两直线方程，得32360ykxxy，解得3362362323xkkyk，所以两直线的交点坐标为336623(,)2323kkk.因为两直线的交点在第一象限，所以336023623023kkk，解得33k，设直线l的倾斜角为θ，则3tan3，又[0,π)，所以ππ(,)62.法二：由题意，直线l过定点(0,3)P，设直线2360xy与x轴、y轴的交点分别为(3,0),(0,2)BA.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知33PBk，