第03讲 圆的方程（练习）（解析版）

第03讲圆的方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·人大附中校考三模）若两条直线1:2lyxm，2:2lyxn与圆2240xyx的四个交点能构成正方形，则mn（）A．45B．210C．22D．4【答案】B【解析】由题设知：12ll//，要使A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，∴正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，则||5mnd，若圆的半径为r，2240xyx，即2224xy，则2r，由正方形的性质知：222dr，∴||225mn，即有210mn.故选：B.2．（2023·海南·校联考模拟预测）如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显水，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似，内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为5厘米，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为2.35米，最低点距离地面的高度为1.95米，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿）,若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（cos150.97）（）A．199.1cmB．201.1cmC．200.5cmD．218.9cm【答案】C【解析】将表盘放在直角坐标坐标系中，将表盘的中心与坐标原点重合，如图所示，由题意知，时钟的直径为2.351.950.4m，即表盘的直径为40cm，又因为外部环形的装饰部分的宽度为5cm，则以AB为直径的圆2C的直径405230ABcm，半径为152ABrcm，则圆2C的方程为22225xy，因为最开始指针指向寅时，则4个半小时后，指针转到午时与末时的中间，指针位于C点，则过点C作OB的垂线，交OB于点D，在直角OCD中，15OCcm，因为一个圆周为360，表盘被分为12份，即每小时转过30，又因为点C在午时与末时的中间，所以15COD，则cos15ODOC，则指针到底面的高度：195520015(1cos15)200150.03200.5hBDcm.故选：C.3．（2023·福建宁德·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P为圆22:1Oxy上的任一点，2,0,1,1AB.若OPOAOB，则2的最大值为（）A．3B．2C．5D．6【答案】C【解析】由已知可设(cos,sin)P，则(cos,sin)OP，又(2,)OAOB，因为OPOAOB，所以2cossin,即sincos2sin,所以22sincos5sin(),其中1tan2，当sin()1时，2有最大值为5.故选：C.4．（2023·海南海口·校联考一模）已知直线20xyr与圆C：22213xyr（0r）交于A，B两点，且线段AB关于圆心对称，则r（）A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】圆C：22213xyr的圆心(1,3)C，由圆心(1,3)C在直线20xyr上，可得230r，解之得=5r.故选：D5．（2023·四川德阳·统考模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221xy，若将军从点1,2P处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】如图所示：设点P关于直线x+y=2的对称点为,Qxy，则12222211xyyx，解得43xy，即4,3Q，所以22435OQ，则“将军饮马”问题中的最短总路程为514OQR.故选：C6．（2023·甘肃酒泉·统考三模）点M在圆22:(1)4Cxy上，点23,3N，则MN的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】圆22:(1)4Cxy的圆心(0,1)C，半径为2r，由于22(23)(31)42,NCN在圆外，max||426MNNCr．故选：D.7．（2023·广东湛江·统考二模）若与y轴相切的圆C与直线3:3lyx也相切，且圆C经过点23P,，则圆C的直径为（）A．2B．2或143C．74D．74或163【答案】B【解析】因为直线3:3lyx的倾斜角为30，所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线3yx上．设圆心,3Caa，则圆C的方程为2223xayaa，将点23P,的坐标代入，得222233aaa，整理得231070aa，解得1a或73a；所以圆C的直径为2或143．故选：B.8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量b、c和单位向量a满足2abb，4caca，则bc的最大值为（）A．423B．2C．2D．52【答案】C【解析】设1,0a，,bxy，由2abb可得222214xyxy，化简可得2233210xyx，即221439xy.设00,cxy，则由4caca，可得22220000114xyxy，故00,xy的轨迹为以1,0,1,0为焦点，24a的椭圆，其方程为22143xy.设,bc夹角为，则cosbcbc，由圆与椭圆的性质可得，21133b，2c，cos1，故当,bc同向，均与x轴负同向时，bc取得最大值2.故选：C.9．（多选题）（2023·福建宁德·校考二模）已知圆22:(3)(4)1Cxy和两点(,0)Am，(,0)(0)Bmm．若圆C上存在点P，使得90APB，则实数m的取值可以为（）A．72B．4C．92D．6【答案】BCD【解析】∵90APB，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，22:(3)(4)1Cxy圆心和半径分别为3,4,1r，22345OC，因此两圆相切或相交，即221341||mm-，解得46m．故选：BCD10．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点0,0,4,0,1,1,4,2中的三点的圆的方程为（）A．22(2)(1)5xyB．22(2)(3)13xyC．2247()()2233xyD．2289()(1)55xy【答案】AB【解析】对于A，点0,0,4,0,4,2在圆22(2)(1)5xy上，故A正确；对于B，点0,0,4,0,1,1在圆22(2)(3)13xy上，故B正确；对于C，点0,0,1,1都不在圆2247()()2233xy上，故C错误；对于D，点4,0,1,1都不在圆2289()(1)55xy上，故D错误；故选：AB.11．（多选题）（2023·福建莆田·统考二模）已知圆22525:(2)24Cxy，点(0,1),(4,4)AB，点M在x轴上，则（）A．B不在圆C上B．y轴被圆C截得的弦长为3C．A，B，C三点共线D．AMB的最大值为π2【答案】BCD【解析】A选项，因为22525(42)424，故(4,4)B在圆C上，A错误；B选项，22525:(2)24Cxy的圆心为52,2C，半径为52r，圆心到y轴的距离为2，由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为22223r，B正确；C选项，因为22525:(02)124C，故(0,1)A在圆上，又2240415AB，即AB为半径的2倍，因为(4,4)B在圆C上，故AB为直径，过圆心C，故A，B，C三点共线，C正确；D选项，由C知AB为直径，由于圆心为52,2，半径为52，故x轴为2225224xy的一条切线，故AMB的最大值为π2，D正确.故选：BCD.12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为22210xyy，若直线1yx上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为（）A．1B．3C．1D．3【答案】AC【解析】22210xyy化为标准方程为：2212xy，圆心0,1C，半径为2，因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，2MC，因为M在直线1yx上，所以可设,1Maa，则22224MCaa，解得：2a或0a，所以2,1M或0,1M，故点M的纵坐标为1或1.故选：AC.13．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，2,0A，4,0B，点P满足12PAPB．设点P的轨迹为C，则（）．A．轨迹C的方程为2249xyB．在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得12PDPEC．当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的角平分线D．在C上存在点M，使得2MOMA【答案】BC【解析】对于A，在平面直角坐标系xOy中，20A，，40B，，点P满足12PAPB，设Pxy，，则22222124xyxy，化简得2280xyx，即22416xy，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得12PDPE，设，0Dm，，0En，则22222xnyxmy，化简得2222338240xymnxmn，由轨迹C的方程为2280xyx，可得8224mn，2240mn，解得6m，12n或2m，4n（舍去），所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，12OAPAOBPB，可得射线PO是APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得2MOMA，可设Mxy，，则222222xyxy，化简得221616033xyx，与2280xyx联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．14．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知点M，N在圆O：221xy上运动，点1,1P，且2210PMPN，Q为线段M，N的中点，则（）A．过点P有且只有一条直线与圆O相切B．221QMOQC．点Q在直线210xy上运动D．MN的最大值为2【答案】BD【解析】由221121，故1,1P在圆O外，故过点P有两条直线与圆O相切，A错；由Q为线段MN的中点，MN为圆O的弦，故221QMOQ，B对；由222222(1)(1)(1)(1)10MMNNPMPNxyxy，又,MN都在圆上，所以62()10MMNNxyxy，即2MMNNxyxy，而2MNQxxx，2MNQyyy，所以1QQxy，即点Q在直线10xy上，C错；由2222||||21||MNOMOQOQ，当||OQ最小时，MN最大，而||OQ最小值为O到10xy的距离为|1|222d，此时Q在圆的内部，所以2max21