重难点突破03 直线与圆的综合应用（七大题型）（解析版）

重难点突破03直线与圆的综合应用目录题型一：距离的创新定义例1．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知(1,0),(1,0),(0,2)ABC，P为ABC内一点，记()||||||fPPAPBPC，则()fP的最小值为，此时sinPBC.【答案】23215510【解析】设(0,0)O为坐标原点，由(1,0),(1,0),(0,2)ABC，知||||5ACBC，且ABC为锐角三角形，因此，费马点F在线段OC上，设(0,)Fh，则FAB为顶角是120°的等腰三角形，故3||tan303hOB，所以()()||||||4223fPfFFAFBFChh…；在FBC中，由正弦定理，得||||sinsinFCBCFBCBFC，即25sinsin120hFBC，解得2155sin10FBC，即此时2155sin10PBC.故答案为：23；215510例2．（2023·全国·高三专题练习）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为11,xy，22,xy，则闵氏距离11212,N*ppppDABxxyyp.若点A、B分别在exy和1yx的图像上，则,pDAB的最小值为（）A．12pB．2pC．1peD．pe【答案】A【解析】由题意得，设1122(,e),(,1)xAxBxx，因为点A、B分别在函数exy和1yx的图象上，所以1111111221221(,)(e1)()(e1)(e1)pppppxxxpDABxxxxxxx，当且仅当1122()(e1)0xxxx时等号成立.设()e1xgxx，()e1xhxx，则()1exhx，令()00hxx，()00hxx，所以函数()hx在(,0)上单调递增，在(0,)上单调递减，所以max()(0)2hxh，即()2hx，所以()()()2gxhxhx，即1(,)2ppDAB，所以(,)pDAB的最小值为12p.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P满足120APBAPCBPC时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且2,3bc，则ababac的最小值是（）A．323B．323C．232D．232【答案】B【解析】设,axy，2,0b，0,3c，则222222223ababacxyxyxy，即为点,Pxy到2,0,2,0AB和点0,3C三个点的距离之和，则△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°，则∠APO＝60°，因为|OA|＝|OB|＝2，则233OP，所以点P坐标为230,3时，距离之和最小，最小距离之和为4343233323333.故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为12,,,nAaaa和12,,,nBbbb，这两组数据间的闵氏距离定义为11()nqqABkkkdqab，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若(1,2,3,4),(0,3,4,5)AB，则(1)4ABd；②若(,1),(1,)AaaBbb，其中,abR，则(1)(2)ABABdd；③若(,),(,)AabBcd，其中,,,abcdR，则(1)(2)ABABdd；④若2,,(,1)AaaBbb，其中,abR，则(2)ABd的最小值为328.其中所有真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①：(1)|10||23||34||45|4ABd，故①正确.对于②：(1)2|1|,(2)2|1|ABABdabdab，故②错误.对于③：22(1)||||,(2)()()ABABdacbddacbd，不妨设||,||acMbdN，2222MNMN，且,MN均为非负数，所以22MNMN故③正确.对于④：构造函数2(),()1fxxgxx，则221212(2)ABdxxyy，(2)ABd的最小值即两曲线动点间的最小距离，设2()fxx与直线()1gxx平行的切线方程为yxb，联立2xyxyb得：20xxb，令140b得，14b，所以切线方程为14yx：()1gxx与14yx之间的距离332482d，所以最小值为328，故④正确.故选C.变式2．（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则222222(,)(23)(13)(13)(2)Fxyxyxyxy的最小值为（）A．4B．223C．323D．423【答案】B【解析】由题意得：(,)Fxy的几何意义为点E到点23,0,31,13,0,2ABC的距离之和的最小值，因为22313122AB，22313122CB，4124AC，所以222ABCBAC，故三角形ABC为等腰直角三角形，，取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，故122BDAC，AECE，因为23323COAO，所以30CAO，故120AEC，则120BECAEB，故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即(,)Fxy取得最小值，因为122ADCDAC，所以43cos303ADAE，同理得：433CE，233DE，2323BEBDDE，故(,)Fxy的最小值为4343232223333AECEBE.故选：B变式3．（2023·全国·高三专题练习）点M是ABC内部或边界上的点，若M到ABC三个顶点距离之和最小，则称点M是ABC的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若0,2A，1,0B，1,0C时，点0M是ABC的费马点，且已知0M在y轴上，则000AMBMCM的大小等于.【答案】23【解析】先证明：若P到ABC三个顶点距离之和最小，则120APBAPCBPC????如图将ABP绕点B逆时针旋转60°得到BDE，则BDE≌ABP，,60BDBPPBD=??，所以BDP是等边三角形，BPDP，PAPBPCEDDPPC++=++，当,,,EDPC四点共线时取得最小值，此时120APBEDB???，同理可得120BPCAPC???所以命题得证.点0M是ABC的费马点，且已知0M在y轴上，000120AMBAMCBMC????，0060AMOOMC???，所以000233,233BMCMOM===-，所以000AMBMCM=23.故答案为：23变式4．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22()()xayb可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得22()420210fxxxxx的最小值为．【答案】52【解析】∵222222420210204103fxxxxxxx，∴fx的几何意义为点(0)Mx，到两定点(24)A，与()13B，的距离之和，设点(24)A，关于x轴的对称点为A，则A为(2,4)，要求fx的最小值，可转化为MAMB＋的最小值，利用对称思想可知22123452MAMBAB，即22420210fxxxxx的最小值为52,故答案为52.题型二：切比雪夫距离例4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义1212,max||,||dABxxyy为两点11(,)Axy，22(,)Bxy的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有,,,dCAdCBdAB；②已知点P（3，1）和直线:210lxy，则4,3dPl；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．【答案】①②③【解析】其中①③的讨论见后文．②设点Q是直线21yx上一点，且,21Qxx，则,max|3|,|22|dPQxx．由|3||22|xx，解得513x，即有,|3|dPQx，当53x时，取得最小值43；由|3||22|xx，解得53x或1x，即有,|22|dPQx，此时,dPQ的范围是4,3，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．综上，①②③正确．例5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义121212(,)max,dPPxxyy为两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为．【答案】16【解析】由前文知点P的轨迹是边长为4的正方形，则轨迹长度之和为16．例6．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义1212,maxdABxxyy，为两点1122,,AxyBxy、的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称,dPQ的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作,dPl，给出下列四个命题:①对任意三点,,ABC，都有,,,dCAdCBdAB；②已知点(3,1)P和直线:210lxy，则43dPl，；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】D【解析】①对任意三点A、B、C，若它们共线，设1(Ax，1)y、2(Bx，2)y，3(Cx，3)y，如图，结合三角形的相似可得(,)dCA，(,)dCB，(,)dAB为AN，CM，AK，或CN，BM，BK，则(,)(,)(,)dCAdCBdAB；若B，C或A，C对调，可得(,)(,)(,)dCAdCBdAB；若A，B，C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK或矩形BMNK，(,)(,)(,)dCAdCBdAB；则对任意的三点A，B，C，都有(,)(,)(,)dCAdCBdAB，故①正确；②设点Q是直线21yx上一点，且(,21)Qxx，可得(,){|3|dPQmaxx，|22|}x，由|3||22|xx，解得513x，即有(,)|3|dPQx，当