重难点突破10 圆锥曲线中的向量问题（五大题型）（解析版）

重难点突破10圆锥曲线中的向量问题目录题型一：向量的单共线例1．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点为1,0F，点21,2在椭圆C上，点T满足222aOTOFab（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求PQT△面积的最大值；(3)设点P为点P关于x轴的对称点，判断PQ与QT的位置关系，并说明理由.【解析】（1）由222211112abab得2221ab，所以，椭圆方程为2212xy.（2）若直线l与x轴重合，则P、Q、T三点共线，不合乎题意，设直线l的方程为1xmy，设点11,Pxy、22,Qxy，由22112xmyxy得222210mymy，222442810mmm，由韦达定理可得12222myym，12212yym，由条件可知22,0OTOF，即点2,0T，22212121222221111244222222PQTmmSFTyyyyyymmm△222222212112111mmmm，当且仅当0m时，等号成立，故PQT△面积的最大值为22.（3）PQ与QT共线，理由如下：易知点11,Pxy，2121,PQxxyy，222,TQxy则21221212211212211222112xxyxyyxyxyyymyymyyyy1212221222022mmyyyymmm.所以，PQ与QT共线.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线2214xy在第一象限与椭圆C相交于点P，且21PF．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线1ykx与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且0ODmOBm．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．【解析】（1）由题意，双曲线2214xy的焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，双曲线2214xy与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，又21PF，15PF，126PFPF．26a，3a．24b．椭圆C的方程为22194xy．（2）设11,Axy，22,Bxy，则22,Dmxmy．四边形OAED为平行四边形，ODAE，1212,Exmxymy．点A，B，E均在椭圆C上，2211194xy，2222194xy，221212194xmxymy．0m，121249180xxyym．212124999180kxxkxxm．由221,194ykxxy消去y，得229418270kxkx．显然2Δ432310k．1221894kxxk，1222794xxk．222271849918909494kkkmkk．24294mk，因为20k，所以2944k，即2110944k，所以241094k，即241294k.1,2m．例3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于(0,)Mm点，若存在实数m，使得34OAOBOM+=，求m的取值范围．【解析】（1）因为该椭圆的离心率为32，所以有2222222333112444ccabbaaaa，在方程22221xyab中，令xc，解得24222221cbbybyaaa，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有2212bbaa，由1,2可得：21ab，所以椭圆的方程为2214xy；（2）当直线l不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线l存在斜率时，设为k，所以直线l的方程设为ykxm，于是有2222211484404xykxkmxmykxm，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有222264414440kmkm，化简，得22410km，设1122,,,AxyBxy，于是有2121222844,1414kmmxxxxkk，因为34OAOBOM+=，所以11221212,3,40,303xyxymxxxx，代入122814kmxxk中，得222228431414kmkmxxxkk，于是有222222224444433141414mkmmxxkkk，化简，得2221416mkm，代入22410km中，得222211114101,11,416422mmmmm.变式1．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知椭圆2222:1(0)xyEabab，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，31,2M是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得20OCOD，求三角形ABC的面积．【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为2ab，又点31,2M在E上，得22241314ababab，解得2a，1b，故椭圆E的方程为2214xy．（2）设直线l的方程为ykxm，由2214xyykxm，消去y得222418440kxkmxm，又2222Δ64441440mkkm，得2241km，设11,Axy，22,Bxy，33,Cxy，则122841kmxxk，12122241myykxmkxmk．由20OCOD，可得O为三角形ABC的重心，所以3ABCOABSS，且1212332(,)(,)OCODxxyyxy，3122841mkxxxk，3122241myyyk，故由33,Cxy在椭圆E上，得222282411441kmmkk，得22441mk，222221224448111414mkmABkxxkkk22222222216(14)41113114kmmmkkkkmm，又原点O到直线l的距离为21mdk，所以1322OABSABd△，故3332ABCOABSS△△．变式2．（2023·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知椭圆C：2212xy的左右焦点分别为12,FF，过点0,2A的直线l交椭圆C于不同的两点,PQ.（1）若直线l经过2F，求1FPQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点2F，求直线l的方程；（3）若AQAP，求实数的取值范围．【解析】（1）由椭圆定义知：1222PFPF，1222QFQF则1FPQ的周长121242LPFPFQFQF.（2）当直线l斜率不存在时，直线:0lx，设0,1Q，0,1P，则220FPFQ，符合题意；当直线l斜率存在时，设直线:2lykx，11,Pxy，22,Qxy，联立直线与椭圆22122xyykx得：2212860kxkx，221264460kk，解得：232k，则122812kxxk，122612xxk，又2111,FPxy，2221,FxyQ，12122211PFQxyFxy121211220xxkxkx，即2121212150kxxkxx，22268121501212kkkkk，解得：118k，满足232k，直线l的方程为：0x或118160xy；（3）①当直线l斜率不存在时，直线:0lx，若0,1Q，0,1P，则0,1AQ，0,3AP，13AQAP，此时13；若0,1Q，0,1P，则0,3AQ，0,1AP，3AQAP，此时3；②当直线l斜率存在时，设直线:2lykx，11,Pxy，22,Qxy，又AQAP，即212122xxyy，故21xx，由（2）知：22212122812612kxxkxxk，即212221322312xxkxxk2110161033312k，又232k，故231212k，21016233(12)k，1102,3，即11023，113或13；综上所述：实数的取值范围为1,11,33.变式3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为1F，2F，从2F发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点2F，这个过程中光线所经过的总路程为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线:0MNxmyt，且满足11FMFN，若513，求实数m的取值范围.【解析】（1）由椭圆的光学性质知MN过椭圆左焦点1F，由椭圆定义知4822ac，即2,1ac，所以2223bac，所以椭圆方程为22143xy；（2）由已知11,0F，设1122,,,MxyNxy，则直线MN方程为10xmy，联立方程组2210143xmyxy可得2234690mymy，则122634myym，122934yym，因为11FMFN，所以11221,1,xyxy，所以12yy，则22222691,3434myymm，消去2y可得222141234mm，513，412015，即224401534mm，解得213m，3333m.变式4．（2023·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）已知点0,2A，椭圆2222:10xyEabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且12APAQ，求OPQ△的面积及直线l的方程．【解析】（1）设,0Fc，因为直线AF的斜率为233，0,2A所以2233c，解得3c．又22232cabac，解得21ab，所以椭圆E的方程为2214xy．（2）设11,P