重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）（解析版）

重难点突破19圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题目录一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆222210xyabab，经过仿射变换xxayyb，则椭圆变为了圆222xya，并且变换过程有如下对应关系：（1）点00,Pxy变为00,aPxyb；（2）直线斜率k变为akkb，对应直线的斜率比不变；（3）图形面积S变为aSSb，对应图形面积比不变；（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；（5）弦长关系满足2211ABkABk，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程222210xyabab222xya横坐标xx纵坐标yayyb斜率ykxayyabkkxxb面积12Sxy12aSxySb弦长21lkx222222221111akablkxkxlbk不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、非对称韦达问题在一元二次方程20axbxc中，若0，设它的两个根分别为12,xx，则有根与系数关系：1212,bcxxxxaa，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理2212121211,,xxxxxx之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,xx的不同系数的代数式的应算，比如求112122121232,2xxxxxxxxxx或12xx之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如112122122,,xxxxyxyx或12121212322xxxxxxxx之类中12,xx的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．【引理1】若点,AB在直线L的同侧，设点是直线L上到,AB两点距离之和最小的点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．【引理2】若点,AB在直线L的两侧，且点,AB到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点,AB距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．【引理3】设椭圆方程为222210xyabab，12,FF分别是其左、右焦点，若点D在椭圆外，则122DFDFa．2、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．【引理4】若点,AB在直线L的同侧，设点是直线L上到,AB两点距离之和最小的点，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点．【引理5】若点,AB在直线L的两侧，且点,AB到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点,AB距离之差最大的点，即PAPB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点．【引理6】设双曲线方程为222210,0xyabab，12,FF分别是其左、右焦点，若点D在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则122DFDFa．3、抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线2:20Cxpyp，0,2pF为其焦点，j是过抛物线上一点00,Dxy的切线，,AB是直线j上的两点（不同于点D），直线DC平行于y轴．求证：FDACDB．（入射角等于反射角）【结论2】已知：如图，抛物线2:20Cypxp，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴．四、三点共线问题证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法题型一：仿射变换问题例1．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将2222:10xyCabab由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab变为221xy，直线的斜率与原斜率的关系为akkb，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为55，过右焦点2F且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且855AB，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线1l、2l且12ll，切点分别为M、N．(1)求证：点P的轨迹方程为229xy；(2)若原点O到1l、2l的距离分别为1d、2d，延长表示距离1d、2d的两条直线，与椭圆C交于Y、W两点，试求：原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【解析】（1）证明：在椭圆C中，因为55ca，则5ac，222bacc，椭圆C的方程为2222154xycc，过右焦点2F且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且855AB，则点45,5c在椭圆C上，则224551154c，解得1c，所以，椭圆C的标准方程为22154xy，①当直线1l、2l的斜率都存在时，设直线1l、2l的斜率分别为1k、2k，作变换5xx，2yy，则椭圆方程变为221xy，记1152kk，2252kk，则12125544kkkk，设点00,Pxy，①当直线PM、PN的斜率都存在时，设过点P且与圆221xy相切的直线的斜率为k，则切线的方程为00yykxx，即000kxyykx，由题意可得00211ykxk，整理可得22200001210xkkxyy，由韦达定理可得2012201514ykkx，整理可得2200549xy，即220054925xy，即22009xy；②作放射变换前，若直线1l、2l与两坐标轴分别垂直，则点5,2P，此时，点P的坐标满足方程229xy.综上所述，点P的轨迹方程为229xy.（2）YW边上的垂足Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差为S，则22OYWOWOYYWOZS△，所以，2222222OWOYYWOZOWOYOZ，所以，2222222111OWOYOZOWOYOWOY，下面来求2211OWOY的值：①若OW、OY分别与两坐标轴重合，则222211111195420abOWOY；②若OW、OY的斜率都存在，设直线OW的方程为0ykxk，则直线OY的方程为1yxk，联立224520ykxxy可得222054xk，222222054kykxk，所以，222202054kOWk，同理可得22222202020205544kkOYkk，所以，22222211545492020202020kkkkOYOW，综上所述，2211920OWOY，所以，222120119OZOWOY，所以，点Z的轨迹方程为22209xy.所以，原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差为20619ππ99.例2．（2023·河北邯郸·高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将2222:1(0)xyCabab由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab变为221xy，直线的斜率与原斜率的关系为akkb，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为55，过右焦点2F且垂直于x轴的直线与C相交于,AB两点且855AB，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线1l，2l且12ll，切点分别为,MN．(1)求证：点P的轨迹方程为229xy；(2)若原点O到1l，2l的距离分别为1d，2d，延长表示距离1d，2d的两条直线，与椭圆C交于,YW两点，过O作OZYW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【解析】（1）由仿射变换得：xxa，yyb，则椭圆22221xyab变为221xy设原斜率存在分别为1k，2k，121kk，变换后为11akkb，22akkb，所以2221212221aakkkkebb，设变换后的坐标系动点00,Qxy，过点00,Qxy的直线为00:lyykxx00:0lkxykxy到原点距离为00211kxydk，即2222200000011210kxykxkxyky，由韦达定理得：2012220211yakkxb，化简得：22222200axbyab由于原坐标系中0xxa，00yyxaxb，0yby所以在原坐标系中轨迹方程为：2222xyab，由255455ceaba解得2254ab，所以点P的轨迹方程为229xy，当切线斜率不存在时，由椭圆方程22154xy易得P点在229xy上.（2）如图所示延长OY交1l于N，延长OW交2l于M，由题意可知π2GPMOGPOHP，所以四边形OGPH为矩形，π2YOW，所以1122OYWSOYOWYWOZ，且222222222||11||||||||||OYOWYWOYOWOYOWOWOY，222||||YWOWOY分子分母同乘2||OZ得22222241114SOZSOZOYOW，因为OYOW，当直线,OYOW斜率存在时，设3:OYlykx，31:OWlyxk，由222231xyabykx解得2222223Yabxbak，222232223Yabkybak，所以2222322231abkOYbak，由2222311xyabyxk解得222232223Wabkxbka，2222223Wabybka，所以2222322231abkOWbka，所以222222223322222222223311(1)(1)bakbkaababkabkabOYOW，当斜率不存在时仍成立，所以222221||abOZab，2222222209abOZxyab，所以Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差20619ππ99是定值.例3．（2023·全国·高三专题练习）MN是椭圆222210xyabab上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则MNOPkk_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点