重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题（八大题型）（解析版）

重难点突破17圆锥曲线中参数范围与最值问题目录1、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．2、求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如ABfk，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：（1）二次函数；（2）“对勾函数”(0)ayxax；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在Δ0或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．题型一：弦长最值问题例1．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆222:Oxyr的任意一条切线l与椭圆22:1124xyM都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）（1）求圆O半径r的取值范围；（2）是否存在圆O，使得0OAOB恒成立？若存在，求出圆O的方程及OAOB的最大值；若不存在，说明理由.【解析】（1）当02r时，圆O在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当2r时，圆的切线yr和yr都和椭圆最多只有一个公共点，不满足题意；故r的取值范围是(0,2).（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为ykxm，设1122(,),(,)AxyBxy，由221124xyykxm消去y得：222(13)63120kxkmxm，则122613kmxxk，212231213mxxk，则1212()()yykxmkxm2221213mkk，由0OAOB得12120xxyy，即22241212013mkk，223(1)mk，又由ykxm与圆O相切得21mrk，即2221mrk，解得23r，此时圆O的方程为223xy.当切线斜率不存在时，上述圆的切线为3x或3x，这两条切线与椭圆的交点为(3,3)A，(3,3)B或(3,3)A，(3,3)B，也满足0OAOB，故满足条件的圆O存在，其方程为223xy.当切线斜率存在且不等于0时，因为2212121()ABkxxxx22222223612481(13)13kmmkkk4242910123961kkkk2424231961kkk2242314196kk，当且仅当213k时取等号；当切线斜率不存在或等于0时，3AB，则max4AB=，又OAOB，故OAOBrAB3AB，则maxmax343OAOBAB.例2．（2023·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点间距离为13．点P满足3BPPA，且点P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线221xy相切，若点F为2,0，那么MNF的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．【解析】（1）设点P坐标为,xy，点A,B的坐标分别为,0a,0,b．由题意3BPPA，得,3,xybaxy则133ax，13by，又因为A、B两点间距离为13，则22213ab222221313133xy整理得点P的轨迹为椭圆，其方程C：2213xy．（2）因为直线MN的斜率存在，设11,Mxy，22,Nxy，设直线MN：ykxm，因为M，N是椭圆C上的不同两点，所以0k由直线MN与曲线221xy相切可得211mk，得221mk，联立2213ykxmxy可得222136330kxkmxm，所以122613kmxxk，21223313mxxk，所以2212214MNkxxxx22222633141313kmmkkk2222222222424241131313kkkmkmkkk，2222111112222MFxyxxy∵221113xy，2211122213xMFxx22111112262932223333xxxxx1633x同理2633NFx126233MFNFxx226623232631313kmkmkk所以MNF的周长22222423261313kmkmkk当0km时，MNF的周长23当0km时，MNF的周长2234613kmk，（法一）由221mk2242222221133131kkkmkkkkk设231kt，则1,t，213tk，42222221212139331kmkttttktk当114t，即4t时，21213tt最大值为24．此时，2314k，所以1k，即12km或12km，此时直线MN：2yx或2yx，所以MNF的周长最大值为22346434．（法二）222223462346133kmkmkmkk2223462kmmk2223464322kmmk当222mk，即21k时，等号成立，则12km或12km，此时直线MN：2yx或2yx，所以MNF的周长最大值为22346434．例3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆2222:1(0)xyCabab）中，2c，过点0,b与,0a的直线的斜率为33.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线3x上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于,MN两点，求||||MNPF的最大值.【解析】（1）过点0,b与,0a的直线的斜率为33，所以33ba，即3ab=，又2c，即224ab，解得222,6ba，所以椭圆C的标准方程是22162xy.（2）由题知2,0F，作出图形如图所示设点3,Pm，则直线FP的斜率为FPkm.当0m时，直线MN的斜率1MNkm，直线MN的方程是2xmy；当0m时，直线MN的方程是2x，也符合2xmy的形式，将直线MN的方程2xmy代入椭圆22162xy方程得223420mymy，且222Δ(4)8324240mmm，设1122,,,MxyNxy，则12122242,33myyyymm.所以2222221212121212114MNxxyymyymyyyy2222222424112433mmmmm又21PFm，令211tmt，则224242432222MNtPFttt，当且仅当2tt，即2t时等号成立，由212tm，解得21m，所以MNPF的最大值为3.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线2x相交于点M．(1)若2,1M，求证：MABFMBAF；(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线2x相交于点N．求1111MAMBNCND的最大值．【解析】（1）证明：设1,0Fc、2,0Fc，因为椭圆E的焦距为2，所以22c，解得1c．又因为椭圆E的离心率22cea，所以2a，所以222211bac，所以椭圆E的方程为2212xy.因为直线l经过2,1M、1,0F，10121MFk，所以，直线l的方程为1yx，设点11,Axy、22,Bxy，联立22122yxxy可得2340xx，由2340xx，得143x，20x.所以122422212133MABFxx，211422212233MBAFxx，因此，MABFMBAF.（2）证明：若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线2x平行，不合乎题意，所以，直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为1ykx，则直线m方程为11yxk，其中0k．联立22122ykxxy可得2222124220kxkxk，设111,Axy、22,Bxy，则4222168211810kkkk，由韦达定理可得2122421kxxk，21222221kxxk，易知12x且22x，将2x代入直线l的方程可得yk，即点2,Mk，所以221211111212MAMBkxkx122212121241111222411xxxxxxxxkk222222222224411441222822111412122kkkkkkkkkkk，同理可得221112211kkCNkND，所以222121211222111111kkkkkkkMAMBNCND2212212kk，当且仅当1k时，等号成立，因此，1111MAMBNCND的最大值为22.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，左顶点为2,0A，直线l与椭圆C交于P，Q两点.(1)求椭圆的C的标准方程；(2)若直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，且1294kk，求PQ的最小值.【解析】（1）由题知，椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，左顶点为2,0A，所以222122caaabc，解得2,3,1abc，所以椭圆C的标准方程为22143xy.（2）由（1）得，22:143xyC，因为直线l与椭圆C交于P，Q两点，由题可知，直线l斜率为0时，120kk，所以直线l的斜率不为0，所以设直线1122:,(,),(,)lxmynPxyQxy=+，联立方程22143xmynxy，得2224363120mymnyn，所以222222223648192361444834mnnmnmmn，21212226312,4343mnnyyyymm，所以12121212122222yyyykkxxmynmyn1222121222yymyymnyyn2222222312433126224343nmnmnmmnnmm